最長遞增子序列 O(NlogN)演算法

標籤：大於   font   現在   最長遞增子序列   一件事   bsp   一個   定義   ret   

假設存在一個序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出來它的LIS長度為5。
下面一步一步試著找出它。
我們定義一個序列B，然後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。
此外，我們用一個變數Len來記錄現在最長算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B裡，令B[1] = 2，就是說當只有1一個數字2的時候，長度為1的LIS的最小末尾是2。這時Len=1

然後，把d[2]有序地放到B裡，令B[1] = 1，就是說長度為1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時Len=1

接著，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是說長度為2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因為1小於3，長度為1的LIS最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度為2的LIS最小末尾是3，於是可以把5淘汰掉，這時候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

繼續，d[5] = 6，它在3後面，因為B[2] = 3, 而6在3後面，於是很容易可以推知B[3] = 6, 這時B[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，於是我們就可以把6替換掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len繼續等於3

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。於是B[4] = 8。Len變成4了

第8個, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len繼續增大，到5了。

最後一個, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之間，所以我們知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

於是我們知道了LIS的長度為5。

!!!!! 注意。這個1,3,4,7,9不是LIS，它只是儲存的對應長度LIS的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以一個一個地插入資料。雖然最後一個d[9] = 7更新進去對於這組資料沒有什麼意義，但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9，那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的長度為6。

然後應該發現一件事情了：在B中插入資料是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分尋找，將每一個數位插入時間最佳化到O(logN)~~~~~於是演算法的時間複雜度就降低到了O(NlogN)～！

//在非遞減序列 arr[s..e]（閉區間）上二分尋找第一個大於等於key的位置，如果都小於key，就返回e+1int upper_bound(int arr[], int s, int e, int key){    int mid;    if (arr[e] <= key)        return e + 1;    while (s < e)    {        mid = s + (e - s) / 2;        if (arr[mid] <= key)            s = mid + 1;        else            e = mid;    }    return s;}int LIS(int d[], int n){    int i = 0, len = 1, *end = (int *)alloca(sizeof(int) * (n + 1));    end[1] = d[0]; //初始化：長度為1的LIS末尾為d[0]    for (i = 1; i < n; i++)    {        int pos = upper_bound(end, 1, len, d[i]); //找到插入位置        end[pos] = d[i];        if (len < pos) //按需要更新LIS長度            len = pos;    }    return len;}

 

最長遞增子序列 O(NlogN)演算法