最大網路流

1

基本概念和術語

（
1

）

網路

G
是一個簡單有向圖，
G=(V,E)
，
V={1
，
2
，
…
，
n}
。在
V
中指定一個頂點
s
，稱為源

和另一個頂點
t
，稱為匯

。有向圖
G
的每一條邊
(v,w)
∈
E
，對應有一個值
cap(v,w)≥0
，稱為邊的容量

。這樣的有向圖
G
稱作一個網路

。

（
2

）



網路流

網路上的流
是定義在網路的邊集合
E
上的一個非負函數
flow={flow(v,w)}
，並稱
flow(v,w)
為邊
(v,w)
上的流量

。

（
3

）

可行流

滿足下述條件的流
flow
稱為可行流

：

①

容量約束
：

對每一條邊
(v,w)
∈
E
，
0≤flow(v,w)≤cap(v,w)
。

②

平衡約束
：


對於中間頂點：流出量
=
流入量。
即對每個
v
∈
V(v≠s,t)
有：頂點
v
的流出量－頂點
v
的流入量
=0
，即

對於源
s
：
s
的流出量－
s
的流入量
=
源的淨輸出量
f
，即

對於匯
t
：
t
的流入量－
t
的流出量的
=
匯的淨輸入量
f
，即

式中
f
稱為這個可行流的流量，即源的淨輸出量
(
或匯的淨輸入量
)
。可行流總是存在的。
例如，讓所有邊的流量
flow(v,w)=0
，就得到一個其流量
f=0
的可行流
(
稱為
0
流
)
。

（
4

）

邊流

對於網路
G
的一個給定的可行流
flow
，將網路中滿足
flow(v,w)=cap(v,w)
的邊稱為飽和邊

；
flow(v,w)<cap(v,w)
的邊稱為非飽和邊

；
flow(v,w)=0
的邊稱為零流邊

；
flow(v,w)>0
的邊稱為非零流邊

。當邊
(v,w)
既不是一條零流邊也不是一條飽和邊時，稱為弱流邊

。

（
5

）

最大流

最大流問題即求網路
G
的一個可行流
flow
，使其流量
f
達到最大。即
flow
滿足：0≤flow(v,w)≤cap(v,w)
，
(v,w)
∈
E
；且

 

（
6

）

流的費用

實際應用中，與網路流有關的問題，不僅涉及流量，而且還有費用的因素。此時網路的每一條邊
(v,w)
除了給定容量
cap(v,w)
外，還定義了一個單位流量費用
cost(v,w)
。對於網路中一個給定的流
flow
，其費用定義為：

 

（
7

）

殘流網路

對於給定的一個流網路
G
及其上的一個流
flow
，網路
G
關於流
flow
的殘流網路
G*
與
G
有相同的頂點集
V
，而網路
G
中的每一條邊對應於
G*
中的
1
條邊或
2
條邊。
設
(v,w)
是
G
的一條邊。
當
flow(v,w)>0
時，（
w,v
）是
G*
中的一條邊，該邊的容量為
cap*(w,v)=flow(v,w)
；
當
flow(v,w)<cap(v,w)
時，
(v,w)
是
G*
中的一條邊，該邊的容量為cap*(v,w)=cap(v,w)-flow(v,w)
。
按照殘流網路的定義，當原網路
G
中的邊
(v,w)
是一條零流邊時，殘流網路
G*
中有唯一的一條邊
(v,w)
與之對應，且該邊的容量為
cap(v,w)
。
當原網路
G
中的邊
(v,w)
是一條飽和邊時，殘流網路
G*
中有唯一的一條邊
(w,v)
與之對應，且該邊的容量為
cap(v,w)
。
當原網路
G
中的邊
(v,w)
是一條弱流邊時，殘流網路
G*
中有
2
條邊
(v,w)
和
(w,v)
與之對應，這
2
條邊的容量分別為
cap(v,w) -flow(v,w)
和
flow(v,w)
。
殘流網路是設計與網路流有關演算法的重要工具。

增廣路演算法

 1 演算法基本思想
設P是網路G中連接源s和匯t的一條路。定義路的方向是從s到t。將路P上的邊分成2類：一類邊的方向與路的方向一致，稱為向前邊
。向前邊的全體記為P+。另一類邊的方向與路的方向相反，稱為向後邊
。向後邊的全體記為P-。
設flow是一個可行流，P是從s到t的一條路，若P滿足下列條件：
（1）在P的所有向前邊(v,w)上，flow(v,w)<cap(v,w)，即P+中的每一條邊都是非飽和邊；
（2）在P的所有向後邊(v,w)上，flow(v,w)>0，即P-中的每一條邊都是非零流邊。
則稱P為關於可行流flow的一條可增廣路
。
可增廣路是殘流網路中一條容量大於0的路。
將具有上述特徵的路P稱為可增廣路是因為可以通過修正路P上所有邊流量flow(v,w)將當前可行流改進成一個流值更大的可行流。
增流的具體做法是：
（1）不屬於可增廣路P的邊(v,w)上的流量保持不變；
（2）可增廣路P上的所有邊(v,w)上的流量按下述規則變化：
· 在向前邊(v,w)上，flow(v,w)+d；
· 在向後邊(v,w)上，flow(v,w)-d。
按下面的公式修改當前的流。

其中d稱為可增廣量，可按下述原則確定：d取得盡量大，又要使變化後的流仍為可行流。按照這個原則，d既不能超過每條向前邊(v,w)的cap(v,w)-flow(v,w)，也不能超過每條向後邊(v,w)的flow(v,w)。因此d應該等於向前邊上的cap(v,w)-flow(v,w)與向後邊上的flow(v,w)的最小值。也就是殘流網路中P的最大容量。
增廣路定理

：設flow是網路G的一個可行流，如果不存在從s到t關於flow的可增廣路P，則flow是G的一個最大流。

 

 

 

 

 

 

動畫示範一：

 

動畫示範二：