最大的二階子矩陣

轉載自http://blog.csdn.net/zhanxinhang,作者：花心龜的扮演者ZhanHang

題：求一個矩陣中最大的二維子矩陣(元素和最大).如:

          1 2 0 3 4
          2 3 4 5 1
          1 1 5 3 0
          中最大的是:  
          4 5
          5 3
          要求:(1)寫出演算法;(2)分析時間複雜度;(3)用C寫出關鍵代碼

分析：方法一、這是最容易想到也是最容易實現的方法。遍曆矩陣(行迭代器為i,列迭代器為j)，以當前遍曆到的元素為首a[i,j]，計算二維子矩陣的和(sum=a[i,j]+a[i+1,j]+a[i,j+1]+a[i+1,j+1])，並找出和最大的二維矩陣，注意矩陣的最後一行和最後一列不用遍曆。時間複雜度為O(i*j)。

實現代碼：

    /**     Author:花心龜     Blog：http://blog.csdn.net/zhanxinhang     **/      void get_max_22Matrix(int *a,int row,int col,int *result)      //a為原矩陣，row，col指a矩陣的行和列，result儲存最終得到的子二維矩陣      {        int maxsum=0,result_i,result_j,sum;              #define a(i,j) *(a+(i)*col+(j))  //用二維的形式表示一維數組，訪問需要一定的代價      #define result(i,j) *(result+(i)*2+(j))                for(int i=0; i<row-1; i++)          for(int j=0; j<col-1; j++)            {              sum = a(i,j)+a(i+1,j)+a(i,j+1)+a(i+1,j+1); //訪問四個元素並相加得到當前的和              if(maxsum<sum) //更新最大子二維矩陣資料                {                  maxsum = sum;                  result_i = i;                  result_j = j;                }            }                /* 將結果儲存到result二維數組中*/         result(0,0)=a(result_i,result_j);         result(1,0)=a(result_i+1,result_j);         result(0,1)=a(result_i,result_j+1);         result(1,1)=a(result_i+1,result_j+1);      #undef a      #undef result      }  

方法二、這是對方法一的改進。分析方法一可知，方法一在每次遍曆中，必須同時訪問四個元素(a[i,j],a[i+1,j],a[i,j+1],a[i+1,j+1])，方法一的遍曆效果（用方框框住的表示當前訪問到或已訪問的元素，元素被框住的次數就越多，表示被訪問的次數也就越多，被染的顏色也就越深）。

可看出，方法一中多個元素被重複訪問多次，要知道訪問一次元素的代價是不容小視的。實際上我們是可以對其進行改進，使每個元素的訪問次數儘可能的降低的。改進方法如下：

一、增加一個變數，last_vsum（叫做“最新縱向和”，v是vertical） 且初始化為last_vsum = a[0,0]+a[1,0]，其作用將在下面說明。

二、改變遍曆方式，原先每次訪問四個元素，現在變為每次訪問縱向的兩個元素（a[i,j],a[i+1,j]），橫向遍曆，遍曆的起始點改為第二個元素，終點到最後一個元素。

三、改變求和方式，求和方法是：首先將上一次儲存的和last_vsum加進sum中，再將last_vsum更新為當前縱向的兩個元素a[i,j],a[i+1,j]之和，然後再將last_vsum加入sum中，這樣就得到本次二維矩陣的和可與maxsum進行比較。如此每次求和只需訪問兩個元素a[i,j],a[i+1,j]。

方法二執行步驟與：

實現代碼：

    /**     Author:花心龜     Blog：http://blog.csdn.net/zhanxinhang     **/      void get_max_22Matrix(int *a,int row,int col,int *result)      {        int maxsum=0,result_i,result_j,sum,last_vsum=0;              #define a(i,j) *(a+(i)*col+(j))        #define result(i,j) *(result+(i)*2+(j))                last_vsum = a(0,0)+a(1,0);  //初始last_vsum        for(int i=0; i<row-1; i++)          {           for(int j=1; j<col; j++)            {              sum = last_vsum ;  //將last_vsum加入sum              last_vsum = a(i,j)+a(i+1,j);//更新last_vsum              sum += last_vsum;//將更新後的last_vsum再與sum累加，得到當前子二維矩陣的和              if(maxsum<sum)                {                  maxsum = sum;                  result_i = i;                  result_j = j-1;                }            }          }                /* 將結果儲存到result二維數組中*/         result(0,0)=a(result_i,result_j);         result(1,0)=a(result_i+1,result_j);         result(0,1)=a(result_i,result_j+1);         result(1,1)=a(result_i+1,result_j+1);      #undef a      #undef result      }  

方法二與方法一效果對照圖：

其中，方法二有中間行需要被訪問兩次，總共訪問次數為5+5+2*5=20次。

而方法一3,4,5元素被訪問了4次，總共訪問次數為4+2*8+3*4=32次。

方法二與方法一的時間複雜度相同，但是效率要高於方法一，尤其是在大矩陣情況下效果尤為明顯

方法三、這可作為對方法二的補充。以上方法二中給的樣本矩陣是3*5的矩陣，也就是列大於行的矩陣，但如果是行大於列依然用方法2去執行效果如何呢？效果如所示：

5*3矩陣，訪問次數為6+2*9=24

可見當行大於列時，利用方法2效果已經下降，如果是大矩陣的話可不只只有4的相差啊。

針對這種情況，只需對方法二稍作改正，沒錯，就是原先方法二是橫向遍曆，現在改為縱向遍曆，效果如所示：

同樣是5*3矩陣，訪問次數為5+5+2*5=20

又回到了方法2的訪問次數。

這樣如果是列大於行的矩陣使用方法二，也就是橫向遍曆

如果是行大於列的矩陣使用方法三，也就縱向遍曆

實現代碼略。

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贈一測試代碼：

int main()  {    int a[3*5]={1,2,0,3,4,            2,3,4,5,1,            1,1,5,3,0};    int result[2*2]={0};      get_max_22Matrix(a,3,5,result);     #define result(i,j) *(result+(i)*2+(j))     for(int i =0; i<2; i++)       {         for(int j=0; j<2; j++)       printf("%d ",result(i,j));         printf("\n");       }    return 0;  }