最大子段和詳解

 

問題的提出：

給定n個整數（可能為負數）組成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求該序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。當所給的整均為負數時定義子段和為0，依此定義，所求的最優值為

Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n

 例如，當（a1,a2,a3,a4,a4,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)時，最大子段和為20

方法一：

蠻力法

方法二：

分治法

演算法描述如下：

 

針對最大子段和這個具體問題本身的結構，我們還可以從演算法設計的策略上對上述O(n^2)計算時間演算法進行更進一步的改進。從問題的解結構也可以看出，它適合於用分治法求解。

如果將所給的序列a[1:n]分為長度相等的兩段a[1:n/2]和a[n/2+1:n],分別求出這兩段的最大子段和，則a[1:n]的最大子段和有三種情況：

（1） a[1:n]的最大子段和與a[1:n/2]的最大子段和相同

（2） a[1:n]的最大子段和與a[n/2+1:n]的最大子段和相同

（3） a[1:n]的最大子段和為a[i]+…+a[j]，並且1<=i<=n/2，n/2+1<=j<=n。

對於（1）和（2）兩種情況可遞迴求得，但是對於情況（3），容易看出a[n/2]，a[n/2+1]在最大子段中。因此，我們可以在a[1:n/2]中計算出s1=max(a[n/2]+a[n/2-1]+…+a[i]),0<=i<=n/2，並在a[n/2+1:n]中計算出s2= max(a[n/2+1]+a[n/2+2]+…+a[i])，n/2+1<=i<=n。則s1+s2為出現情況（3）的最大子段和。據此可以設計出最大子段和問題的分治演算法如下：

代碼如下：

#include<stdio.h><br />#define MAX 100<br />int maxsub(int left,int right);<br />int a[MAX];<br />int main()<br />{<br />int i;<br />int count;<br />scanf("%d",&count);<br />for(i=0;i<count;i++)<br />{<br />scanf("%d",&a[i]);<br />}<br />printf("%d/n",maxsub(0,count-1));<br />return 0;<br />}<br />int maxsub(int left,int right)<br />{<br />int center,i;<br />int sum,left_sum,right_sum;<br />int left_max,right_max;<br />center=(left+right)/2;<br />if(left==right)<br />return a[left];<br />else<br />{<br />left_sum=maxsub(left,center);<br />right_sum=maxsub(center+1,right);<br />sum=0;<br />left_max=0;<br />for(i=center;i>=left;i--)<br />{<br />sum+=a[i];<br />if(sum>left_max)<br />left_max=sum;<br />}<br />sum=0;<br />right_max=0;<br />for(i=center+1;i<=right;i++)<br />{<br />sum+=a[i];<br />if(sum>right_max)<br />right_max=sum;<br />}<br />sum=right_max+left_max;<br />if(sum<left_sum)<br />sum=left_sum;<br />if(sum<right_sum)<br />sum=right_sum;<br />}<br />return sum;<br />} 

 

方法三：

動態規劃法

演算法描述如下：

 

在對於上述分治演算法的分析中我們注意到，若記b[j]=max(a[i]+a[i+1]+..+a[j]),其中1<=i<=j,並且1<=j<=n。則所求的最大子段和為max b[j]，1<=j<=n。

由b[j]的定義可易知，當b[j-1]>0時b[j]=b[j-1]+a[j]，否則b[j]=a[j]。故b[j]的動態規劃遞迴式為:

b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。

代碼如下：

#include<stdio.h><br />int main()<br />{<br />int count;<br />int a[100];<br />int b[100];<br />int i;<br />int max;<br />scanf("%d",&count);<br />for(i=0;i<count;i++)<br />{<br />scanf("%d",&a[i]);<br />}<br />b[0]=a[0];<br />max=b[0];<br />for(i=1;i<count;i++)<br />{<br />if(b[i-1]>0)<br />b[i]=b[i-1]+a[i];<br />else<br />b[i]=a[i];<br />if(b[i]>max)<br />max=b[i];<br />}<br />printf("%d/n",max);<br />return 0;<br />}