最大子序列求和演算法二三

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最大子序列求和演算法二 遞迴求解

遞迴求解：整個求解數組分成三部分，最大子序列可能出現在三個地方，左半部分，右半部分，跨越左右部分(包括左半部分最後一個元素，右半部分第一個元素)

分別對這三部分求解，不斷的在每部分再分成三部分，遞迴求解

每一次遞迴跨越部分可以先算出，但是左，右半部分，需要不斷遞迴，知道剩一個元素，然後回溯加上原來已經算出的跨越部分，最後返回max3(三個裡面最大的一個)

時間複雜度計算

假設遞迴求解需要時間為T(N) ，N=1 時 T(1)=1

兩個遞迴時間+兩個for迴圈時間(假設一次一個時間單元)

兩個遞迴時間 2T(N/2) +N/2+N/2=2T(N/2)+N

k表示序號從0開始

N=2^k;T(N)=N*(k+1),T(N)=NlogN+N

所以 O(N)=NlogN

線性時間O(N) 演算法

基於數學分析 

設輸入序列為A，長度為N，從a0開始求和並記錄最大值，如a(0)，a(0)+a(1)，a(0)+a(1)+a(2)…，直到開始出現求和小於0則停止。設加到a(i)時開始小於0，即有a(0)，a(0)+a(1)，…，a(0)+…+a(p-1)都大於0，而a(0)+a(1)+…+a(p)<0。此時，可從a(p+1)重新開始求和並記錄最大值。為什麼可以這麼做呢？我們把從a(1)到a(p)之間開始的子序列分為兩種情形（設子序列的開始索引為start，結束索引為end）：

1、end<=p，a(start)+…+a(end)=a(0)+…+a(start)+…a(end) –[a(0)+…+a(start-1)]。由前面知，對於start-1<p，有a(0)+…+a(start-1)>0，所以可得到a(0)+…+a(start)+…a(end)> a(start)+…+a(end)。又由於a(0)+…+a(start)+…a(end)已經考慮過了，所以比其小的子序列無需考慮。

2、end>p，因為1<=start<=p，有a(0)+…+a(start-1)>0而a(0)+…+a(start)+…a(p)<0，所以有a(start)+…a(p)= a(0)+…+a(start)+…a(p)-[ a(0)+…+a(start-1)]<0。對於end>p，有a(start)+…+a(p)+…+a(end)<a(p+1)+…a(end)。

綜上所述，只需要從a(p+1)開始重新求和，重複以上步驟即可得到最大子序列求和。

#include <stdio.h>int max3(int a, int b, int c);int maxSubSum1(const int array[], int left, int right) {    int center,maxleftsum,maxrightsum;    if (left == right)        if (array[left] > 0)            return array[left];        else            return 0;     center = (left + right) / 2;     maxleftsum = maxSubSum1(array, left, center);     maxrightsum = maxSubSum1(array, center + 1, right);    int maxleftbodersum = 0, leftbordersum = 0, i;    for (i = center; i >= left; i--) {        leftbordersum += array[i];        if (leftbordersum > maxleftbodersum)            maxleftbodersum = leftbordersum;    }    int maxrightbodersum = 0, rightbordersum = 0;    for (i = center + 1; i <= right; i++) {        rightbordersum += array[i];        if (rightbordersum > maxrightbodersum)            maxrightbodersum = rightbordersum;    }    return max3(maxleftsum, maxrightsum, maxrightbodersum + maxleftbodersum);}int max3(int a, int b, int c) {    int max = a;    if (b > max)        max = b;    if (c > max)        max = c;    return max;}int maxSubSum2(int const array[],int N){    int maxsum=0,thissum=0,j;    for(j=0;j<N;j++){        thissum+=array[j];        if(thissum > maxsum)            maxsum = thissum;        else if(thissum < 0)            thissum = 0;    }    return maxsum;}int main(void) {    int a[] = { 11, -2, 5, 8, 12, 6, -2, 4, -18, 7 };    printf("maxSubSum1 %d\n",maxSubSum1(a, 0, 9));    printf("maxSubSum2 %d",maxSubSum2(a, 10));    return 0;}

 參考自 http://blog.csdn.net/superchanon/article/details/8228212

總結：優秀的演算法是基於數學分析的基礎上的