最大子串和問題（Maximum Subarray）

又一個經典問題，對於一個包含負值的數字串array[1...n]，要找到他的一個子串array[i...j]（0<=i<=j<=n），使得在array的所有子串中，array[i...j]的和最大。

這裡我們需要注意子串和子序列之間的區別。子串是指數組中連續的若干個元素，而子序列只要求各元素的順序與其在數組中一致，而沒有連續的要求。對於一個元素數為n的數組，其含有2^n個子序列和n(n+1)/2個子串。如果使用窮舉法，則至少需要O(n^2)的時間才能得到答案。卡耐基梅隆大學的Jay Kadane的給出了一個線性時間演算法，我們就來看看，如何線上性時間內解決最大子串和問題。

要說明Kadane演算法的正確性，需要兩個結論。首先，對於array[1...n]，如果array[i...j]就是滿足和最大的子串，那麼對於任何k(i<=k<=j)，我們有array[i...k]的和大於0。因為如果存在k使得array[i...k]的和小於0，那麼我們就有array[k+1...j]的和大於array[i...j]，這與我們假設的array[i...j]就是array中和最大子串矛盾。

其次，我們可以將數組從左至右分割為若干子串，使得除了最後一個子串之外，其餘子串的各元素之和小於0，且對於所有子串array[i...j]和任意k（i<=k<j），有array[i...k]的和大於0。此時我們要說明的是，滿足條件的和最大子串，只能是上述某個子串的首碼，而不可能跨越多個子串。我們假設array[p...q]，是array的和最大子串，且array[p...q]，跨越了array[i...j]，array[j+1...k]。根據我們的分組方式，存在i<=m<j使得array[i...m]的和是array[i...j]中的最大值，存在j+1<=n<k使得array[j+1...n]的和是array[j+1...k]的最大值。由於array[m+1...j]使得array[i...j]的和小於0。此時我們可以比較array[i...m]和array[j+1...n]，如果array[i...m]的和大於array[j+1...n]則array[i...m]>array[p...q]，否array[j+1...n]>array[p...q]，無論誰大，我們都可以找到比array[p...q]和更大的子串，這與我們的假設矛盾，所以滿足條件的array[p...q]不可能跨越兩個子串。對於跨越更多子串的情況，由於各子串的和均為負值，所以同樣可以證明存在和更大的非跨越子串的存在。對於單元素和最大的特例，該結論也適用。

根據上述結論，我們就得到了Kadane演算法的執行流程，從頭到尾遍曆目標數組，將數組分割為滿足上述條件的子串，同時得到各子串的最大首碼和，然後比較各子串的最大首碼和，得到最終答案。我們以array={−2, 1, −3, 4, −1, 2, 1, −5, 4}為例，來簡單說明一下演算法步驟。通過遍曆，可以將數組分割為如下3個子串（-2），（1，-3），（4，-1，2，1，-5，4），這裡對於（-2）這樣的情況，單獨分為一組。各子串的最大首碼和為-2，1，6，所以目標串的最大子串和為6。

下面是實現代碼：

int Kadane(const int array[], size_t length, unsigned int& left, unsigned int& right){unsigned int i, cur_left, cur_right;int cur_max, max;cur_max = max = left = right = cur_left = cur_right = 0;for(i = 0; i < length; ++i){cur_max += array[i];if(cur_max > 0){cur_right = i;if(max < cur_max){max = cur_max;left = cur_left;right = cur_right;}}else{cur_max = 0;cur_left = cur_right = i + 1;}}return max;}

這裡我們需要注意，對於數組元素全為負的情況，由於不滿足上述的兩條結論，所以Kadane演算法無法給出正確答案。

該問題是1977年Ulf Grenander提出的一個數位影像方面的問題，1984年Jay Kadane才給出了這個優美的解決方案。有些問題，看似解法簡單，但是實際上其原理，要比代碼複雜得多。