[備忘]求兩數最大公約,最小公倍數

 求兩數最大公約,最小公倍數
  

P120 6.1 <譚>

輸入兩個正整數m和n, 求其最大公約數和最小公倍數.

<1> 用輾轉相除法求最大公約數
演算法描述:
m對n求餘為a, 若a不等於0
則 m <- n, n <- a, 繼續求餘
否則 n 為最大公約數
<2> 最小公倍數 = 兩個數的積 / 最大公約數

#include <stdio.h>
int main()
{
    int m, n;
    int m_cup, n_cup, res;          /*被除數, 除數, 餘數*/
    printf("Enter two integer:\n");
    scanf("%d %d", &m, &n);
    if (m > 0 && n >0)
    {
        m_cup = m;
        n_cup = n;

        res = m_cup % n_cup;
        while (res != 0)
        {
            m_cup = n_cup;
            n_cup = res;
            res = m_cup % n_cup;
        }

        printf("Greatest common divisor: %d\n", n_cup);
        printf("Lease common multiple  : %d\n", m * n / n_cup);
    }
    else printf("Error!\n");
    return 0;
}

★ 關於輾轉相除法, 搜了一下, 在我國古代的《九章算術》中就有記載，現摘錄如下:

約分術曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。”

其中所說的“等數”，就是最大公約數。求“等數”的辦法是“更相減損”法，實際上就是輾轉相除法。

輾轉相除法求最大公約數，是一種比較好的方法，比較快。

對於52317和75569兩個數，你能迅速地求出它們的最大公約數嗎？一般來說你會找一找公用的使因子，這題可麻煩了，不好找，質因子大。

現在教你用輾轉相除法來求最大公約數。

先用較大的75569除以 52317，得商1，餘數23252，再以52317除以23252，得商2，餘數是5813，再用23252做被除數，5813做除數，正好除盡得商數 4。這樣5813就是5569和52317的最大公約數。你要是用分解使因數的辦法，肯定找不到。

那麼，這輾轉相除法為什麼能得到最大公約數呢？下面我就給大夥談談。

比如說有要求a、b兩個整數的最大公約數，a＞b，那麼我們先用a除以b，得到商8，餘數r1：a÷b＝q1…r1我們當然也可以把上面這個式子改寫成乘法式：a＝bq1＋r1------l）

如果r1＝0，那麼b就是a、b的最大公約數3。要是r1≠0，就繼續除，用b除以r1，我們也可以有和上面一樣的式子：

b＝r1q2＋r2-------2）

如果餘數r2＝0，那麼r1就是所求的最大公約數3。為什麼呢？因為如果2）式變成了b＝r1q2，那麼b1r1的公約數就一定是a1b的公約數。這是因為一個數能同時除盡b和r1，那麼由l）式，就一定能整除a，從而也是a1b的公約數。

反過來，如果一個數d，能同時整除a1b，那麼由1）式，也一定能整除r1，從而也有d是b1r1的公約數。

這樣，a和b的公約數與b和r1的公約數完全一樣，那麼這兩對的最大公約數也一定相同。那b1r1的最大公約數，在r1＝0時，不就是r1嗎？所以a和b的最大公約數也是r1了。

有人會說，那r2不等於0怎麼辦？那當然是繼續往下做，用r1除以r2，……直到餘數為零為止。

在這種方法裡，先做除數的，後一步就成了被除數，這就是輾轉相除法名字的來曆吧。

一般用輾轉相除法，都列成下面的式子：

              

不過，《九章》中的輾轉相除法略有些不同，它叫“更相減損”，是輾轉相減的方法。這也很好理解，除法就是一種連續地減去除數的一種簡便運算，一直減到結果比除數小為止。

比如我們用“更相減損法”來求91 和49的最大公約數，可以由91減49一次，得餘42；再由49減42一次，餘7；更由42減7，這一回要減五次，餘的還是7，再減，就是0了。那麼這個 7就是91和49的最大公約數。這個7就是約分術中所謂的“等數”，因為減得結果和最後一次的減數相等了，就叫等數。

輾轉相除法在小學中學都沒教過，恐怕是有點難講清其中的道理。不過，兩千多年前的古人居然有此創造，咱們後人再學不會，可就慚愧了，何況這還是一種很實用的方法