歸併排序求逆序對

排序都用Qsort了，別的排序演算法不怎麼用，但有些排序的思想很重要。碰到一道求逆序對的題，要用到歸併排序，學習了一下歸併排序。

歸併排序是用分治思想，分治模式在每一層遞迴上有三個步驟：

                               分解：將n個元素分成個含n/2個元素的子序列。

                               解決：用合并排序法對兩個子序列遞迴的排序。

                               合并：合并兩個已排序的子序列已得到排序結果。

演算法很其的關鍵應該在如何合并上，這一點演算法導論上講的很清楚。

void Merge(int Left,int Middle,int Right)
{
         
         int n1=Middle-Left+1;            //Left到Middle的元素個數
         int n2=Right-Middle;              //Middle+1到Right的元素個數
         for(int i=1;i<=n1;i++)
                L[i]=A[Left+i-1];             //把Left到Middle的左堆元素複製到L數組中，已排好序
         for(int i=1;i<=n2;i++)
                R[i]=A[Middle+i];            //把Middle+1到Right的右堆中的元素複製到R數組中
         L[n1+1]=M;                        // 底部存放“哨兵”，避免比較式判空，很巧
         R[n2+1]=M;
         int i=1;int j=1;
         for(int k=Left;k<=Right;k++)         // 每次把兩堆中最小的元素複製到數組A中，這樣合并成有序的序列
         {
                 if(L[i]<=R[j])
                 {
                           A[k]=L[i];
                           i++;
                 }
                 else
                 {
                           A[k]=R[j];
                           j++;
                 }
         }

}         

遞迴的合并排序，如果子數組中至多有一個元素，當然是已排好，否則分解。

void Merge_sort(int Left,int Right)
{
          int Middle;
          if(Left<Right)
          {
                      Middle=(Left+Right)/2; 
                      Merge_sort(Left,Middle);                      // 二分分解左部分
                      Merge_sort(Middle+1,Right);                // 二分分解有部分
                      Merge(Left,Middle,Right);                      //合并兩部分
          }
  
}

演算法一直把序列分解，最後演算法將自底向上兩個長度為一的序列合并成已排好序的，接著將長度為2的序列合并成長度為4的有序序列，等等。一者合并成長度為n的有序序列。

在歸併排序演算法中稍作修改，就可以在nlog2(n)的時間內求逆序對。

將數組A[1...size]，劃分為A[1...mid] 和 A[mid+1...size].那麼逆序對數的個數為 f(1, size) = f(1, mid) + f(mid+1, size) + s(1, mid, size)，這裡s(1, mid, size)代表左值在[1---mid]中，右值在[mid+1, size]中的逆序對數。由於兩個子序列本身都已經排序，所以尋找起來非常方便。

void Merge(int Left,int Middle,int Right)
{
         
         int n1=Middle-Left+1;
         int n2=Right-Middle;
         for(int i=1;i<=n1;i++)
                L[i]=A[Left+i-1];             
         for(int i=1;i<=n2;i++)
                R[i]=A[Middle+i];
         L[n1+1]=M;
         R[n2+1]=M;
         int i=1;int j=1;
         for(int k=Left;k<=Right;k++)
         {
                 if(L[i]<=R[j])
                           A[k]=L[i++];     
                 else
                 {
                           A[k]=R[j++];
                               cunt+=n1-i+1;                 //cunt為全域變數
                 }
         }

}                                     

最後cunt即為逆序對的個數。