二叉樹兩結點的最低公用祖先結點(一)

文章目錄

• 1）自頂向下的方法
• 2）自底向上的方法
• 3）公用路徑法

題目

二叉樹結點的定義如下：

struct node {    int data;    struct node* left;    struct node* right;};

給定二叉樹中的兩個結點，輸出這兩個結點的最低公用祖先結點（LCA）。注意，該二叉樹不一定是二叉搜尋樹。

比如給定的二叉樹如下所示，則可以知道結點1和5的最低公用祖先結點為5，結點4和5的最低公用祖先結點為5。

        _______3______       /              \    ___5__          ___1__   /      \        /      \   6      _2       0       8         /  \         7   4

 

解法1）自頂向下的方法

我們可以從根結點出發，判斷當前結點的左右子樹是否包含這兩個結點。如果左子樹包含兩個結點，則它們的最低公用祖先結點也一定在左子樹中。如果右子樹包含兩個結點，則它們的最低公用祖先結點也一定在右子樹中。如果一個結點在左子樹，而另一個結點在右子樹中，則當前結點就是它們的最低公用祖先結點。根據該思路寫出代碼如下，注意這裡已經假定p和q是二叉樹中的結點。

/*尋找二叉樹中兩個結點最低公用祖先結點*/struct node* LCA(struct node *root, struct node *p, struct node *q) {    if (hasNode(root->left, p) && hasNode(root->left, q)) //p和q都在左子樹中                return LCA(root->left, p, q);    if (hasNode(root->right, p) && hasNode(root->right, q)) //p和q都在右子樹中        return LCA(root->right, p, q);    return root; //p和q一個在左子樹，一個在右子樹中，直接返回root}/*判斷root為根的樹是否包含結點p*/bool hasNode(struct node* root, struct node* p){    if (!root) return false;    if (root == p)        return true;    return hasNode(root->left, p) ||  hasNode(root->right, p);}

由於我們對每個結點都調用了hasNode函數，而該函數類似於遍曆二叉樹，複雜度為O(N)，所以總的時間複雜度為O(N^2)，我們期望找到一個更好的方法。

 

2）自底向上的方法

由於自頂向下的方法需要重複遍曆結點，使用自底向上的方法可以避免這種情況。

自底向上遍曆結點，一旦遇到結點等於p或者q，則將其向上傳遞給它的父結點。父結點會判斷它的左右子樹是否都包含其中一個結點，如果是，則父結點一定是這兩個節點p和q的LCA，傳遞父結點到root。如果不是，我們向上傳遞其中的包含結點p或者q的子結點，或者NULL(如果子結點不包含任何一個)。該方法時間複雜度為O(N)。

typedef struct node Node;Node *LCA(Node *root, Node *p, Node *q) {  if (!root) return NULL;  if (root == p || root == q) return root;  Node *L = LCA(root->left, p, q);  Node *R = LCA(root->right, p, q);  if (L && R) return root;  // 如果p和q位於不同的子樹    return L ? L : R;  //p和q在相同的子樹，或者p和q不在子樹中}

3）公用路徑法

還有一個方法就是依次得到從根結點到結點p和q的路徑，找出它們路徑中的最後一個公用結點即是它們的LCA。該演算法在何海濤先生的部落格中有詳細描述，這裡就不贅述，詳見http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174201081263815813/，該方法複雜度也為O(N)，不過需要額外的空間儲存路徑，當然第2種方法中遞迴也是需要棧空間的，不過整體來看第2種方法簡潔但是不是很好理解，而公用路徑法則更加易懂。