最小割專輯

一、基本問題：

1.到底什麼是割：原始點集為V，選出一些點集S使得s∈S，T=V-S，t∈T，則S到T的邊為S到T割，記做[S,T]。

2.什麼是最小割：圖中所有的割中，邊權值和最小的割為最小割！

3.割得容量容量和流量計算的區別：割[S,T]的容量為∑(邊(u,v)的容量和)，其中u∈S,∈T。也就是說割的容量不計算反向的邊！！而流量為正向的和反向的代數和。

4.最大流-最小割定理：最大流的值為最小割的容量！

5.怎樣求割：求完最大流後，在殘留網路中從source開始dfs，被染色的為S，未被染色的為T，則邊集[S,T]為割。

二、一些割的性質：

1.割[S,T]，流量只能從S流向T，不能從T流向S！（在最大流後找割dfs時其實就滿足這個性質，假設T中一個點v流向S中的一個點u，那麼u到v有負流量，則u到v的殘留網路嚴格大於0。反向dfs證明類似）

2.最大流後，割邊一定滿流。減小某一割邊後，網路流減小。

3.如，從s沿著殘餘流量dfs，得到點集S；同理沿著t反向dfs，得到點集T；剩下的是M。分界線cut1和cut2是其中一割，邊自然為割邊。然而在M中還存有割邊（一定存有！！否則M就沒用了！）

4.退化一下：如所示，S和T有相鄰部分邊集E1，S和M重合邊集相鄰部分邊集E2，M和T相鄰邊集部分E3，那麼直接升高E1中某條邊的容量，會使整體容量直接增高！反之：而如果增大S和M相鄰的割邊或者M和T相鄰的割邊，網路流不直接增大，因為M中還存有割邊限制

5.繼續退化：如果M==空集，cut1和cut2重合（變為cut），則網路中割唯一。可以通過 if ( |S|+|T|==總點數) 來判斷

 

三、割的三個典型應用（參考《最小割模型在資訊學競賽中的應用》）：最大權閉合圖、最大密度子圖、二分圖的最小點權覆蓋（二分圖的最大點權獨立集）

poj 3468 Dual Core CPU

題意：給出不同模組在兩個cpu工作各自的耗費和某些模組若不在同一CPU啟動並執行耗費，求合理安排各個模組的最小耗費

解法：最大流=最小割，s、t分別代表兩個cpu，耗費作為cap。證明：每個頂點都與源點和匯點相連，即每個模組都可在任意一個CPU中工作，對於圖中的任意割，源點和匯點必不連通，因此每個模組都不可能同時在兩個CPU中運行，此時的耗費為割的容量。
poj 1815  Friendship題意：給出一些人之間的通話關係，如果A能跟B聯絡，B能跟C聯絡，那麼A能跟C聯絡，求刪除最少的人，然給定的兩個點S、T斷了聯絡，如果存在被刪除的店，要求輸出字典序最小的。就是編號小的優先。

思路：每個點i拆為i和n+i，（i，n+i）間流量為1，確保每個人只被刪除一次。如果（i，j）之間有通話關係，則（i+n,j）間流量為1，源點和s間流量為inf，t和匯點間流量為inf，s、t與自己拆點間流量為inf。輸出最小割很容易，關鍵是按字典順序輸出割邊。每次從小到大消掉每一個點（讓拆點後的邊容量為0），然後再次求最大流，如果此次不等於上次最大流，則此邊為割邊，輸出；否則，將消除的點恢複。

注意：0和No Answer的區別：如果s與t直接連通則No Answer;如果s與t之間沒有任何串連則為0(最大流為0)；

poj 3084 Panic Room

題意： 有N個房間並有一間是需要保護的，另外有一些房間有恐怖份子要進入該房間。房間與房間有門（有可能多個門），門有鎖，鎖是只能一邊能控制，一但鎖上門，另一邊不可進入。要防止保護的房間被侵入，因此需要鎖上有些門，求最少要鎖多少個門。

構圖：對於每把鎖，如果能從a房間鎖住並且連通b房間，則（a，b）容量inf（b，a）容量+1，將源點與所有有入侵者的房屋間連一條容量為inf的邊，最小割值即為答案（證明：割後所有有入侵者的房間不與需要保護的房間在一個集合中，對於每把鎖，不能夠從入侵者一側控制則容量為1，否則為inf即此鎖對入侵者失效，因此若最小割>=inf
則說明無論關多少門都不能奏效）

ZOJ 2587
Unique Attack
判斷最小割是否唯一，由上述5的性質知求得最大流之分別從起點和終點延殘餘網路dfs，若能夠遍曆所有的點則最小割是唯一的。

poj2914 Minimum
Cut

描述：無向圖的最小割stoer-wagner演算法（不指定source, sink）

Stoer-Wagner演算法

求解無向連通圖的最小邊割（不指定source和sink），O(V^3)。據說 枚舉 + 網路流必然tle

思路：類似prim演算法，求“最大產生樹”，樹種最後一個點v與他的前驅pre[v]合并為pre[v]（也就是pre[v]的流量加上了v的流量就行了），這樣進行V次就可以了。而ans為每次最大產生樹後的ans = min(ans, E[pre[v]][v])。

技巧：

1.用類比指標比較好控制縮點。

2.和prim的區別：每次產生樹並不是從新找最大邊，而是在上一次鬆弛的基礎上，找出最大邊。也就是說鬆弛與選最大邊合并了

3.由於2，沒必要用堆了

poj 2987 Firing 最大（點）權閉合圖

poj3155 Hard Life