最小產生樹演算法（prim&kruskal）

無向連通圖 G = (V, E)的產生樹是它的極小連通子圖：串連了圖中所有的頂點，有保持圖連通的最少的邊，且不包含迴路（最少的邊這一條件已經隱含了不含迴路的性質，同時，產生樹是一種樹，也是不允許有迴路的）。在所有的產生樹中，權值最小的樹就是最小產生樹（minimum spanning tree）。由最小產生樹的性質可知，它的邊數比頂點數小一，而且一個圖的最小產生樹往往是不唯一的。

求解無向連通圖的最小產生樹的經典方法有兩種：kruskal演算法和prim演算法。兩個演算法都是貪心思想的應用：一次產生一條安全邊：

GENERIC_MST（G,W）

A← 空集

While A does not form a spanning tree

Do find an edge(u, v) thia is safe for A

A ← A  (u, v)

return A

說明一下安全邊的概念。無向聯通圖 G = (V, E)的一個割（S,V-S）是對V的一個劃分。如果邊（u，v）E的一個頂點屬於S，另一個屬於V-S，則稱（u，v）通過割（S,V-S）。如果邊的集合A中沒有邊通過某個割，則稱該割不妨害A。如果某條邊的權值是通過某個割的權值最小的邊，則稱該邊為通過這個割的一條輕邊。下面給出識別安全邊的規則：

設圖G=（V,E）為無向連通圖，設A為E的子集，包含於G德某個最小產生樹中，設割（S,V-S）是G的任意一個不妨害A的割，如果（u，v）是通過割（S,V-S）的一條輕邊，那麼（u，v）對集合A來說是安全的。

Kruskal演算法：

初始狀態下產生樹A是空集，每個頂點都是一棵樹（一個連通分支），然後每次都將圖中串連兩個不同的連通分支的最小權邊加入到A中，然後合并兩個兩個連通分支，直到圖中的所有頂點都屬於同一個連通分支。

演算法的描述挺簡單，但是有兩個問題需要解決：

1.如何判斷兩個頂點是否屬於不同的連通分支？

《演算法導論》中關於該部分的論述使用了不相交集合資料結構。我在實現的時候使用一個標誌數組array，長度為|V|，依次對應圖中的每個頂點。array[i]、array[j]不同表示頂點i和頂點j屬於不同的連通分支，合併作業也很簡單，將array中和array[i]相同（表示位於同一連通分支）的元素值置為array[j]，這樣就將頂點i所在的連通分支與j所在的分支合并。

2.如何找出屬於不同連通分支的最小權邊？

最直接的方法是遍曆圖中的所有邊，找出兩端處於不同的分支且權最小的邊。也可以使用排序演算法對邊按長度進行排序。

3.如何記錄產生樹?

  可以為每個頂點增加一個parent域，記錄在產生樹中它的父母。比如邊（u，v）添加到A中，那麼v的parent域就設為u。

Prim演算法：

初始狀態A包含任意一個頂點r，從r開始，每次都向A中添加一條串連樹A和G=（V,A）中某個孤立頂點的輕邊，直至產生樹A包含了圖中所有的頂點。

有效實現該演算法的關鍵是設法較容易地選擇一條輕邊。我們可以藉助最小優先順序隊列。

圖中的頂點可以分為兩類，一類是在A中的，已經納入最小產生樹了，另一種是不在A中的，記為B，對於這些頂點，我們需要儲存它們與A中的某個頂點相連的邊中的最小權值。最小優先順序隊列儲存的就是B（尚未納入最小產生樹）中的頂點以及它們與A中某個頂點相連的邊中的最小權值。   每次隊首出隊，設新加入A的頂點為V，那麼我們要修改V的鄰接點中尚未在A中（在最小優先順序隊列）的且與A中頂點相連的邊的最小權值（比較拗口）。另外，為了記錄產生樹，和Kruskal演算法一樣，我們需要增加parent域。

代碼地址：點擊開啟連結