最小產生樹---Prim演算法和Kruskal演算法，---primkruskal

最小產生樹---Prim演算法和Kruskal演算法，---primkruskal

Prim演算法

1.概覽

普裡姆演算法（Prim演算法），圖論中的一種演算法，可在加權連通圖裡搜尋最小產生樹。意即由此演算法搜尋到的邊子集所構成的樹中，不但包括了連通圖裡的所有頂點（英語：Vertex (graph theory)），且其所有邊的權值之和亦為最小。該演算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克（英語：Vojtěch Jarník）發現；並在1957年由美國電腦科學家羅伯特·普裡姆（英語：Robert C. Prim）獨立發現；1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該演算法。因此，在某些場合，普裡姆演算法又被稱為DJP演算法、亞爾尼克演算法或普裡姆－亞爾尼克演算法。

 

2.演算法簡單描述

1).輸入：一個加權連通圖，其中頂點集合為V，邊集合為E；

2).初始化：Vnew = {x}，其中x為集合V中的任一節點（起始點），Enew = {},為空白；

3).重複下列操作，直到Vnew = V：

a.在集合E中選取權值最小的邊<u, v>，其中u為集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合當中，並且v∈V（如果存在有多條滿足前述條件即具有相同權值的邊，則可任意選取其中之一）；

b.將v加入集合Vnew中，將<u, v>邊加入集合Enew中；

4).輸出：使用集合Vnew和Enew來描述所得到的最小產生樹。

樣本圖示範:

 

下面對演算法的圖例描述:

圖例	說明	不可選	可選	已選（Vnew）
	此為原始的加權連通圖。每條邊一側的數字代表其權值。	-	-	-
	頂點D被任意選為起始點。頂點A、B、E和F通過單條邊與D相連。A是距離D最近的頂點，因此將A及對應邊AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一個頂點為距離D或A最近的頂點。B距D為9，距A為7，E為15，F為6。因此，F距D或A最近，因此將頂點F與相應邊DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	演算法繼續重複上面的步驟。距離A為7的頂點B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在當前情況下，可以在C、E與G間進行選擇。C距B為8，E距B為7，G距F為11。E最近，因此將頂點E與相應邊BE高亮表示。	無	C, E, G	A, D, F, B
	這裡，可供選擇的頂點只有C和G。C距E為5，G距E為9，故選取C，並與邊EC一同高亮表示。	無	C, G	A, D, F, B, E
	頂點G是唯一剩下的頂點，它距F為11，距E為9，E最近，故高亮表示G及相應邊EG。	無	G	A, D, F, B, E, C
	現在，所有頂點均已被選取，圖中綠色部分即為連通圖的最小產生樹。在此例中，最小產生樹的權值之和為39。	無	無	A, D, F, B, E, C, G

 

3.簡單證明prim演算法

反證法：假設prim產生的不是最小產生樹

1).設prim產生的樹為G0

2).假設存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0)   則在Gmin中存在<u,v>不屬於G0

3).將<u,v>加入G0中可得一個環，且<u,v>不是該環的最長邊(這是因為<u,v>∈Gmin)

4).這與prim每次產生最短邊矛盾

5).故假設不成立，命題得證.

 

Kruskal演算法

1.概覽

Kruskal演算法是一種用來尋找最小產生樹的演算法，由Joseph Kruskal在1956年發表。用來解決同樣問題的還有Prim演算法和Boruvka演算法等。三種演算法都是貪婪演算法的應用。和Boruvka演算法不同的地方是，Kruskal演算法在圖中存在相同權值的邊時也有效。

 

2.演算法簡單描述

1).記Graph中有v個頂點，e個邊

2).建立圖Graphnew，Graphnew中擁有原圖中相同的e個頂點，但沒有邊

3).將原圖Graph中所有e個邊按權值從小到大排序

4).迴圈：從權值最小的邊開始遍曆每條邊 直至圖Graph中所有的節點都在同一個連通分量中

                if 這條邊串連的兩個節點於圖Graphnew中不在同一個連通分量中

                                         添加這條邊到圖Graphnew中

樣本圖示範:

 

圖例描述：

首先第一步，我們有一張圖Graph，有若干點和邊 

 

將所有的邊的長度排序，用排序的結果作為我們選擇邊的依據。這裡再次體現了貪心演算法的思想。資源排序，對局部最優的資源進行選擇，排序完成後，我們率先選擇了邊AD。這樣我們的圖就變成了右圖

 

在剩下的變中尋找。我們找到了CE。這裡邊的權重也是5

依次類推我們找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面繼續選擇， BC或者EF儘管現在長度為8的邊是最小的未選擇的邊。但是現在他們已經連通了（對於BC可以通過CE,EB來串連，類似的EF可以通過EB,BA,AD,DF來接連）。所以不需要選擇他們。類似的BD也已經連通了（這裡的連通線用紅色表示了）。

最後就剩下EG和FG了。當然我們選擇了EG。最後成功的圖就是右：

 

3.簡單證明Kruskal演算法

對圖的頂點數n做歸納，證明Kruskal演算法對任意n階圖適用。

歸納基礎：

n=1，顯然能夠找到最小產生樹。

歸納過程：

假設Kruskal演算法對n≤k階圖適用，那麼，在k+1階圖G中，我們把最短邊的兩個端點a和b做一個合併作業，即把u與v合為一個點v'，把原來接在u和v的邊都接到v'上去，這樣就能夠得到一個k階圖G'(u,v的合并是k+1少一條邊)，G'最小產生樹T'可以用Kruskal演算法得到。

我們證明T'+{<u,v>}是G的最小產生樹。

用反證法，如果T'+{<u,v>}不是最小產生樹，最小產生樹是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。顯然T應該包含<u,v>，否則，可以用<u,v>加入到T中，形成一個環，刪除環上原有的任意一條邊，形成一棵更小權值的產生樹。而T-{<u,v>}，是G'的產生樹。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，產生了矛盾。於是假設不成立，T'+{<u,v>}是G的最小產生樹，Kruskal演算法對k+1階圖也適用。

由數學歸納法，Kruskal演算法得證。

 

下面使用java程式示範Prim演算法：

代碼如下:

package com.itheima.primer;import java.util.ArrayList;import java.util.List;import java.util.Scanner;/** * 最小產生樹(普裡姆演算法(Prim演算法)) * @author zhangming * @date 2016/04/20 */public class MinTreePrimer {    private static List<Vertex> visitedVertexs,leftedVertexs; //分別為添加到集合U中的節點集和剩餘的集合V中的節點集    private static List<Edge> searchEdges;        //初始化圖的資訊    public static void initGraph(Graph g){        visitedVertexs = new ArrayList<Vertex>();        leftedVertexs = new ArrayList<Vertex>();        searchEdges = new ArrayList<Edge>();                Scanner sc = new Scanner(System.in);        System.out.print("輸入頂點數: ");        int vertexNumber = sc.nextInt();        System.out.print("請輸入邊數: ");        int edgeNumber = sc.nextInt();        String[] allVertex = new String[vertexNumber];        String[] allEdge = new String[edgeNumber];                System.out.println("=================================");        System.out.println("請輸入各個頂點:");        Scanner scanner = new Scanner(System.in);        for(int i=0;i<vertexNumber;i++){            System.out.print("頂點"+(i+1)+":");            allVertex[i] = scanner.nextLine();        }        System.out.println("=================================");        for(int i=0;i<edgeNumber;i++){            System.out.print("輸入邊(Vi,Vj)中的頂點名稱和權值W(如:A B 7): ");            allEdge[i] = scanner.nextLine();        }                g.vertex = new Vertex[allVertex.length];        g.edge = new Edge[allEdge.length];        g.minWeight = 0;                for(int i=0;i<allVertex.length;i++){            g.vertex[i] = new Vertex();            g.vertex[i].vName = allVertex[i];            leftedVertexs.add(g.vertex[i]); //初始化剩餘點集合        }                for(int i=0;i<allEdge.length;i++){            g.edge[i] = new Edge();            g.edge[i].startVertex = new Vertex();            g.edge[i].endVertex = new Vertex();                        String edgeInfo[] = allEdge[i].split(" ");            g.edge[i].startVertex.vName = edgeInfo[0];            g.edge[i].endVertex.vName = edgeInfo[1];            g.edge[i].weight = Integer.parseInt(edgeInfo[2]);        }    }        public static void onChangeVertex(Vertex vertex){        visitedVertexs.add(vertex); //添加初始節點,作為預設的開始節點        leftedVertexs.remove(vertex);    }        public static Vertex findOneVertex(Graph g){        int minValue = Integer.MAX_VALUE;        Vertex findVertex = new Vertex();        Edge findEdge = new Edge();                for(int i=0;i<visitedVertexs.size();i++){            for(int j=0;j<leftedVertexs.size();j++){                Vertex v1 = visitedVertexs.get(i);                Vertex v2 = leftedVertexs.get(j); //擷取兩個頂點的名稱                                for(int k=0;k<g.edge.length;k++){                    String startName = g.edge[k].startVertex.vName;                    String endName = g.edge[k].endVertex.vName;                                        if((v1.vName.equals(startName) && v2.vName.equals(endName))
　　　　　　　　　　　　　　　　||(v1.vName.equals(endName) && v2.vName.equals(startName))){                        if(g.edge[k].weight < minValue){                            findEdge = g.edge[k];                            minValue = g.edge[k].weight;                            if(leftedVertexs.contains(v1)){ //會調用對象的equals方法比較對象,需重寫equals方法                                findVertex = v1;                            }else if(leftedVertexs.contains(v2)){                                findVertex = v2;                            }                        }                    }                }            }        }        g.minWeight+= minValue;        searchEdges.add(findEdge);                return findVertex;    }        public static void prim(Graph g){        while(leftedVertexs.size()>0){ //直到剩餘節點集為空白時結束迴圈            Vertex findVertex = findOneVertex(g);            onChangeVertex(findVertex);        }        System.out.print("\n最短路徑包含的邊: ");        for(int i=0;i<searchEdges.size();i++){            System.out.print("("+searchEdges.get(i).startVertex.vName+","+searchEdges.get(i).endVertex.vName+")"+" ");        }        System.out.println("\n最短路徑長度: "+g.minWeight);    }        public static void main(String[] args) {        Graph g = new Graph();        initGraph(g);        onChangeVertex(g.vertex[0]);        prim(g);    }}/** * 頂點類Vertex */class Vertex{    String vName; //頂點的名稱        @Override    public boolean equals(Object obj) {        if(obj instanceof Vertex){            Vertex vertex = (Vertex)obj;            return this.vName.equals(vertex.vName);        }        return super.equals(obj);    }}/** * 邊類Edge */class Edge{    Vertex startVertex;    Vertex endVertex;    int weight;}/** * 圖的儲存結構 */class Graph{    Vertex[] vertex; //頂點集    Edge[] edge; //邊集    int minWeight; //最短路徑}

 

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