關於最小產生樹問題

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       我們通過一個例子來看一下最小產生樹的求法。

       分別用普裡姆演算法（從A結點開始）和克魯斯卡爾演算法計算的最小產生樹。

 

       ok，首先運用Prim演算法進行計算：

U	V-U	B	C	D	E	F	TE
{A}	{B,C,D,E,F}	AB 11	AC 13	~ ∞	AE 16	~ ∞	AB 11
{A,B}	{C,D,E,F}		BC 7	BD 3	AE 16	BF 5	BD 3
{A,B,D}	{C,E,F}		BC 7		AE 16	BF 5	BF 5
{A,B,D,F}	{C,E}		BC 7		FE 12		BC 7
{A,B,D,F,C}	{E}				FE 12		FE 12
{A,B,D,F,C,E}	{}

        圖表可能看著有點亂，沒關係，我們先來看一下Prim演算法的基本思想：假設N=(V,{E})是連通圖，TE是N上最小產生樹中邊的集合。演算法從U={u0}(u0∈V)，TE={}開始，重複執行下述操作：在所有u∈U, v∈V-U的邊(u,v)∈E中找一條代價最小的邊(u0,v0)併入集合TE，同時v0併入U，直至U=V為止。此時TE中必有n-1條邊，則T=(V,{TE})為N的最小產生樹。

       那麼對照例圖和表格我們就很容易地可以看出該演算法的計算流程，首先從結點A開始，分別寫出與其他結點的路徑和權值，如果不連通則取權值為無窮，於是就有了表格的第二行，TE取代價最小的AB；然後將B添加到U，寫出結點B與其他結點的路徑和相應的權值，當然A就不用再寫了，大家可以看到，凡是添加到最小產生樹中的路徑，之後該列則為空白，因為它已經是代價最小的邊，不可能再有其他邊比它更小了；還有一個問題。為了方便起見，在同一列中，如果對應邊的權值不小於其前一個，則將其直接落下來，這樣就可以只比較那個“更小的”，這樣就不用每一行都去比較了；按照這個思路，表格的第三行，BD的權值為3，小於其前一個的權值無窮，則寫入3；第五行，FE的權值為12，小於其前一個AE的權值16，所以寫入12；其實每一行和每一列都是在找那個代價最小的路徑，這樣求得的集合就是最小產生樹，當然還得加入結點的集合，這樣所示表格也就不難理解了，每一行找到一條代價最小的路徑，加入TE，然後將結點加入U，再去比較其他的路徑，就這樣一直走下去，最後得到最小產生樹集合。

       接下來進入克魯斯卡爾演算法：

       首先看一下它的基本思想：先構造一個只含 n 個頂點的子圖 SG，然後從權值最小的邊開始，若它的添加不使SG 中產生迴路，則在 SG 上加上這條邊，如此重複，直至加上 n-1 條邊為止。一句話，“不構成環的情況下，每次選取最小邊” 。它的出發點就是為使產生樹上邊的權值之和達到最小，則應使產生樹中每一條邊的權值儘可能地小。因此我們就從權值最小的邊開始構造，前提是不構成環。

       那麼我們直接找權值最小的邊進行組合，首先是BD，然後是BF，BC，CF不行，因為其構成了環，AB可以，EF也可以，ok，這樣就得到了最小產生樹邊的集合TE={BD,BF,BC,AB,EF}，是不是比Prim演算法簡單的多？！

      所以該圖的最小產生樹可以表示為T=（{A,B,D,F,C,E}，{BD,BF,BC,AB,EF}），當然最好還是可以畫出圖來，這樣會更加直接明了。