平方數的和差的最小值

mathe ()     2002-05-11 08:17:04 在 專題開發/技術/項目 / 資料結構與演算法 提問
輸入正整數N,  
  要求輸出  
  在1^2   ,   2^2,   3^3,...,N^2每個數前加上加號或減號後求和的絕對值的即小值。  
  N<=1000000.   :)  
   
  如果改成  

1^3,2^3,3^3,...,N^3結論又如何？ 

20樓  liem   (阿明) 
情況已經清楚了  
  當n>=6時有：n=4k,4k+3結果為0，n=4k+1,4k+2結果為1。  
   
  根據上面的討論，只要對n=4k+2進行證明就可以了。  
  記：S(m,n)(m<n)為m^2,(m+1)^2,...,n^2的代數和絕對值的最小值，s(n)=S(1,n)。則S(n,n+7)=0。  
  用歸納法證明s(4k+2)=1.已知k=1,k=2時有s(4k+2)=1(具體計算得出，見上面討論)，由於4k+2個數字中有2k+1個奇數，因此結果不能為零。設對k=1,2,...k0我們都有s(4*k+2)=1,則對k+1(k>=2)，我們有：  
  S(4(k-1)+3,4(k+1)+2)=0  
  從而有：s(4(k+1)+2)=s(4(k-1)+2)+S(4(k-1)+3,4(k+1)+2)=1+0=1。  

 mathe   ()   回複於 2002-05-13 08:01:43  得分 0
差不多了，已經走上正道了。   
 
   
  看來我用的方法還是複雜了一些。  
  其實上面的討論已經給出了S(n+8)<=S(n)  
  那麼如果S(n)<=1，必然有S(n+8)=S(n).  
  所以只要計算出S(6)到S(13)的值（都是0或1），那麼就可以證明  
  n>=6時S(n)是0或1。  
   
  這道題目容易給人的錯覺是好像可以用DP來解決，但是實際上用DP無論在空間或時間上都無法接受。而通過數學和電腦結合後的分析，問題就非常簡單了。  
  而對於三次方，我們可以得出S(n+16)<=S(n),那麼只要找到連續16個結果都是0或1的就行了。

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