模線性方程組

標籤：

韓信點兵

問題：給定了n組除數m[i]和餘數r[i]，通過這n組(m[i],r[i])求解一個x，使得x mod m[i] = r[i]

解：

　　一開始就直接求解多個方程組的解，比較困難，所以我們從 n = 2 開始遞推

　　已知：

x mod m[1] = r[1]x mod m[2] = r[2]

　　所以存在兩個數， k[1], k[2]

x = k[1]*m[1] + r[1]x = k[2]*m[2] + r[2]

　　因為值相同，所以：

        k[1]*m[1] + r[1] = k[2]*m[2] + r[2]=>    k[1]*m[1] - k[2]*m[2] = r[2] - r[1]

　　令 A = m[1], B = m[2], C = r[2] - r[1], x = k[1], y = k[2]　　則上式變為 Ax + By = C

　　則是擴充歐幾裡德，可以看我之前的一篇部落格http://www.cnblogs.com/ygdblogs/p/5476395.html

 

　　由於每兩個方程可以合并成一個，連續操作，轉化為一個方程，即可求解多個方程組的解

　　虛擬碼：

M = m[1], R = r[1]For i = 2 .. N     d = gcd(M, m[i])    c = r[i] - R    If (c mod d) Then    // 無解的情況        Return -1    End If    (k1, k2) = extend_gcd(M / d, m[i] / d)    // 擴充歐幾裡德計算k1,k2    k1 = (c / d * k1) mod (m[i] / d)    // 擴充解系    R = R + k1 * M        // 計算x = m[1] * k[1] + r[1]    M = M / d * m[i]     // 求解lcm(M, m[i])    R %= M             // 求解合并後的新R，同時讓R最小End For        If (R < 0) Then     R = R + MEnd IfReturn R

　　源碼：

#include<stdio.h>#include<iostream>typedef long long ll;ll m[1010], r[1010], x, y;ll gcd(ll a,ll b){    if(a%b == 0) return b;    return gcd(b, a%b);}void extend_gcd(ll a,ll b){    if(b==0){        x=1;        y=0;    }    else{        extend_gcd(b,a%b);        ll t=x;        x=y;        y=t-(a/b)*x;    }}int main(){    int n;    ll a, b, c, ans, r1;    scanf("%d",&n);    for(int i =0; i<n; i++)        scanf("%lld%lld",&m[i],&r[i]);    a = m[0], r1 = r[0];    for(int i=1; i<n; i++){        b = m[i];        c = r[i] - r1;        ll d = gcd(a, b);        if(c%d){            ans=-1;            break;        }        else{            ll a1 = a/d;            ll b1 = b/d;            ll c1 = c/d;            extend_gcd(a1,b1);            ll x1 = (x*c1)%b1;            if(x1< 0)              x1 += b1;            r1 = a*x1 + r1;            a = a1*b;            ans = r1;        }    }    printf("%lld\n",ans);    return 0;}

View Code

 

模線性方程組