猴王問題約瑟夫環

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【Joseph問題描述】
n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。

【求解思路】
我們知道第一個人(編號一定是m%n-1) 出列之後，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環（以編號為k=m%n的人開始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
並且從k開始報0。
現在我們把他們的編號做一下轉換：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x‘ =(x+k)%n
如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是一個反向推算問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：
令f[i]表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數值，最後結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1
由於是逐級遞推，不需要儲存每個f[i]，程式也是異常簡單：
int main()
{
    int n, m, i, s=0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (i=2; i <=n; i++)
        s=(s+m)%i;
    printf ("The winner is %d/n", s+1);
}

【氡馬的補充】
當n個人時，退出的一定是報到m%n-1的人（有%是因為m可能大於n，經過迴圈才能報到m），由於所有人是一個環，可以認為是從任何地方開始編號的，所以在m%n-1這個人之後的人可以認為編碼都大於他，那麼整個環的編號就是m%n-1到m%n-1+n-1（也就是m%n-1到m%n-2，實際上一個編號是m還是m+n或者m+2n都無所謂，只要最終算出來的編號對n模數就是正確的編號了。）
那此人退出後他的下一位，也就是原來報m%n這位的編號將更新為0。相應的後面的編碼都會減少m%n，所以得出公式:
f[n] - m%n = f[n-1]
變形一下公式也就是:
f[n] = (f[n-1] + m) % n

 

本文來自CSDN部落格，轉載請標明出處：http://blog.csdn.net/RadonMar/archive/2009/07/14/4346204.aspx

 

 

問題描述：已知n個人（以編號1，2，3...n分別表示）圍坐在一張圓桌周圍。從編號為k的人開始報數，數到m的那個人出列；他的下一個人又從1開始報數，數到m的那個人又出列；依此規律重複下去，直到圓桌周圍的人全部出列，求最後一個出列人的編號。

遞迴的力量：最佳化到O(N)

在Donald E. Knuth的《具體數學》中，對m=2的情況使用了遞迴的解決方案，並推出了一個常數運算式，使得此種情況下，演算法的複雜度為常量。同時，這種思路也可以應用於n>2 的情況，但無法得出常數運算式，推廣後的遞迴演算法具體的思路如下：

當n個人圍成一圈並以m為步長第一次報數時，第m個人出列，此時就又組成了一個新的，人數為n-1的約瑟夫環，要求n個人的約瑟夫環問題的解，就依賴於求n-1個人的約瑟夫問題的解，要求n-2個人的約瑟夫問題的解，則依賴於求n-2個人的約瑟夫換問題的解，依次類推，直至求1個人的時候，該問題的解。

讓我們回到問題的原始描述中，m是一個固定的值，即步長；n為一個圈的總人數，k為這個圈第一個報數的人的編號，顯然，n在每次遞迴過程中會減1，而k則可以由m,n來唯一確定，這樣的話，當n=1的時候，我們所確定的當前的k值，就是我們所要求的解。

那麼，我們可列出如下的遞迴式：

P(n, m, k)=1 (i = 1)

P(n, m, k)=(P(i - 1, m, k ) + m - 1) % n + 1; (i > 1)

（此處m需先減1是為了讓模n的值不為0）

這樣，我們可以很輕鬆的將此演算法具體實現。這裡給出它的遞推標記法以方便進下一步討論（C言描述）：

 

long Josephus(long n,long m,long k){     //參數分別為：人數，出圈步長，起使報數位置,
    for (long i = 1; i <= n; i++)
        k = (k + m - 1) % i + 1; 
    return k; //返回最後一人的位置
}

 

顯然，這個演算法的複雜度僅為O(n)，相比類比演算法，有了很大的改進。

再最佳化：與人數無關
上面的演算法相比最初的類比演算法效率已經大大提升了，那麼，該演算法還有改進的餘地嗎？
事實上，如果我們觀察上述演算法中的變數k，他的初始值為第一個出圈人的編號，但在迴圈的過程中，我們會發現它常常處在一種等差遞增的狀態，我來看這個式子：k = (k + m - 1) % i + 1，可以看出，當i比較大而k+m-1比較小的時候，k就處於一種等差遞增的狀態，這個等差遞增的過程並不是必須的，可以跳過。
我們設一中間變數x，列出如下等式：
k + m * x – 1 = i + x
解出x，令k = k + m * x，將i + x直接賦值給 i，這樣就跳過了中間共x重的迴圈，從而節省了等差遞增的時間開銷。
可是其中求出來的x + i可能會超過n，這樣的結果事實上已經告訴我們此時可以直接結束演算法了，即：
k = k + m * (n - i) ;
i = n;
結束。
另外對於m = 1的情況可以單獨討論：
當k == 1時，最終結果就是n；
當k != 1時，最終結果就是(k + n - 1) % n。
整個演算法的C語言描述如下：

 

long Josephus( long n, long m, long k ){ //分別為：人數，出圈步長，起使報數位置, 
    if (m == 1)
        k = k == 1 ? n : (k + n - 1) % n;
            else{
                for (long i = 1; i <= n; i++){
                    if ((k + m) < i){
                        x = (i - k + 1) / (m - 1) - 1;
                        if (i + x < n){
                            i = i + x;
                            k = (k + m * x);
                        }
                        else{
                            k = k + m * (n - i) ;
                            i = n;
                        } 
                   }
                   k = (k + m - 1) % i + 1;
               }
          }
     return k; //返回最後一人的位置
}

該演算法的演算法複雜度在m<n時已經與一個圈中的人數n沒有關係了，即使在n=2000000000，m=3，k=1的情況下，也只做了54次迴圈，事實上，大多數的情況都是m<n，且m相對來說很小，此時，這個演算法的複雜度僅為O(m)；但當而m>=n時，用方程求出的值不能減少迴圈重數，演算法複雜度仍為O(n)。

 

解答約瑟夫環問題的幾個方法 問題描述：約瑟夫環
 有編號從1到N的N個人坐成一圈報數，報到M的人出局，下一位再從1開始, 如此持續，直止剩下一位為止，報告此人的編號X。輸入N,M，求出X。
常規的解法:用所有的元素產生一個迴圈鏈表,第一次從第一個向前走M步,將當前元素分離出鏈表,然後從下一個元素開始走M步,再將當前元素分離出鏈表,重複以上過程,直到鏈表中只有一個元素時即為所求.
遞迴的解法:
1int f(int n, int m)
2{
3  if (n > 1)
4    return (m + f(n - 1, m)) % m;
5  else
6    return 0;
7}
8非遞迴的解法,很巧妙:
1int f(int n, int m)
2{
3    int i, r = 0;
4    for (i = 2; i <= n; i++)
5        r = (r + m) % i;
6    return r+1;
7}