單調隊列最佳化多重背包

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樸素的多重背包演算法為
\[f[i][j]=\max(f[i-1][j-kv_i]+kw_i)(kv_i\le j,k\le lim[i])?\]
時間複雜度為\(O(V\sum lim[])\)。

先枚舉i。設\(d=\lfloor\frac{j}{lim[i]}\rfloor\)，\(r=j-lim[i]\cdot d\)。則上述轉移可改寫為
\[f[i][j]=\max(f[i-1][r+kv_i]+(d-k)w_i)\]
將\(d\)移到\(\max()\)外面，得

\[f[i][j]=\max(f[i-1][r+kv_i]-kw_i)+dw_i\]
此時\(\max()\)中的項只與\(k\)有關了，可以用單調隊列最佳化。複雜度為\(O(nV)\)。

單調隊列最佳化多重背包