單調隊列初步

一直弄不明白單調隊列是什麼，在網上也找不到易懂的介紹。最後結合別人部落格上的介紹和程式看才理解是怎麼回事。

我們從最簡單的問題開始：

給定一個長度為N的整數數列a(i),i=0,1,...,N-1和窗長度k.

要求：

      f(i) = max{a(i-k+1),a(i-k+2),..., a(i)},i = 0,1,...,N-1

問題的另一種描述就是用一個長度為k的窗在整數數列上移動，求窗裡面所包含的數的最大值。

解法一：

很直觀的一種解法，那就是從數列的開頭，將窗放上去，然後找到這最開始的k個數的最大值，然後窗最後移一個單元，繼續找到k個數中的最大值。

這種方法每求一個f(i),都要進行k-1次的比較，複雜度為O(N*k)。

那麼有沒有更快一點的演算法呢。

解法二：

我們知道，上一種演算法有一個地方是重複比較了，就是在找當前的f(i)的時候，i的前面k-1個數其它在算f(i-1)的時候我們就比較過了。那麼我們能不能儲存上一次的結果呢。當然主要是i的前k-1個數中的最大值了。答案是可以，這就要用到單調遞減隊列。

單調遞減隊列是這麼一個隊列，它的頭元素一直是隊列當中的最大值，而且隊列中的值是按照遞減的順序排列的。我們可以從隊列的末尾插入一個元素，可以從隊列的兩端刪除元素。

1.首先看插入元素：為了保證隊列的遞減性，我們在插入元素v的時候，要將隊尾的元素和v比較，如果隊尾的元素不大於v,則刪除隊尾的元素，然後繼續將新的隊尾的元素與v比較，直到隊尾的元素大於v,這個時候我們才將v插入到隊尾。

2.隊尾的刪除剛剛已經說了，那麼隊首的元素什麼時候刪除呢。由於我們只需要儲存i的前k-1個元素中的最大值，所以當隊首的元素的索引或下標小於i-k+1的時候，就說明隊首的元素對於求f(i)已經沒有意義了，因為它已經不在窗裡面了。所以當index[隊首元素]<i-k+1時，將隊首元素刪除。

 

從上面的介紹當中，我們知道，單調隊列與隊列唯一的不同就在於它不僅要儲存元素的值，而且要儲存元素的索引（當然在實際應用中我們可以只需要儲存索引，而通過索引間接找到當前索引的值）。

為了讓讀者更明白一點，我舉個簡單的例子。

假設數列為：8，7，12，5，16，9，17，2，4，6.N=10,k=3.

那麼我們構造一個長度為3的單調遞減隊列：

首先，那8和它的索引0放入隊列中，我們用（8，0）表示，每一步插入元素時隊列中的元素如下：

0：插入8，隊列為：（8，0）

1：插入7，隊列為：（8，0），（7，1）

2：插入12，隊列為：（12，2）

3：插入5，隊列為：（12，2），（5，3）

4：插入16，隊列為：（16，4）

5：插入9，隊列為：（16，4），（9，5）

。。。。依此類推

那麼f(i)就是第i步時隊列當中的首元素：8，8，12，12，16，16，。。。

程式碼如下：

#include<iostream> #include<queue> using namespace std; struct Node { int val; int index; }; void GetMax(int *numSequence,int len, int *result,int k) { Node *que = new Node[len]; int head = 0; int end = 0; for(int i=0;i<len;i++) { Node tmp; tmp.val = numSequence[i]; tmp.index = i; while(end!=0 && que[end].val<=numSequence[i]) --end; ++end; que[end] = tmp; while(end!=0 && que[head].index<i-k+1) ++head; result[i] = que[head].val; } delete []que; } int main() { int len, k; cin>>len>>k; int *numSequence = new int[len]; int *maxResult = new int[len]; for(int i=0;i<len;i++) cin>>numSequence[i]; GetMax(numSequence,len,maxResult,k); for(int i=k-1;i<len;i++) cout<<i<<": "<<maxResult[i]<<endl; delete[]numSequence; delete[]maxResult; numSequence = NULL; maxResult = NULL; return 0; }