單調隊列+STL deque

單調隊列=雙端隊列！

我們從最簡單的問題開始：

給定一個長度為N的整數數列a(i),i=0,1,...,N-1和窗長度k.

要求：

      f(i) = max{a(i-k+1),a(i-k+2),..., a(i)},i = 0,1,...,N-1

問題的另一種描述就是用一個長度為k的窗在整數數列上移動，求窗裡面所包含的數的最大值。

解法一：

很直觀的一種解法，那就是從數列的開頭，將窗放上去，然後找到這最開始的k個數的最大值，然後窗最後移一個單元，繼續找到k個數中的最大值。

這種方法每求一個f(i),都要進行k-1次的比較，複雜度為O(N*k)。

那麼有沒有更快一點的演算法呢？

解法二：

我們知道，上一種演算法有一個地方是重複比較了，就是在找當前的f(i)的時候，i的前面k-1個數其它在算f(i-1)的時候我們就比較過了。那麼我們能不能儲存上一次的結果呢？當然主要是i的前k-1個數中的最大值了。答案是可以，這就要用到單調遞減隊列。

單調遞減隊列是這麼一個隊列，它的頭元素一直是隊列當中的最大值，而且隊列中的值是按照遞減的順序排列的。我們可以從隊列的末尾插入一個元素，可以從隊列的兩端刪除元素。

1.首先看插入元素：為了保證隊列的遞減性，我們在插入元素v的時候，要將隊尾的元素和v比較，如果隊尾的元素不大於v,則刪除隊尾的元素，然後繼續將新的隊尾的元素與v比較，直到隊尾的元素大於v,這個時候我們才將v插入到隊尾。

2.隊尾的刪除剛剛已經說了，那麼隊首的元素什麼時候刪除呢？由於我們只需要儲存i的前k-1個元素中的最大值，所以當隊首的元素的索引或下標小於 i-k+1的時候，就說明隊首的元素對於求f(i)已經沒有意義了，因為它已經不在窗裡面了。所以當index[隊首元素]<i-k+1時，將隊首 元素刪除。

從上面的介紹當中，我們知道，單調隊列與隊列唯一的不同就在於它不僅要儲存元素的值，而且要儲存元素的索引（當然在實際應用中我們可以只需要儲存索引，而通過索引間接找到當前索引的值）。

為了讓讀者更明白一點，我舉個簡單的例子。

假設數列為：8，7，12，5，16，9，17，2，4，6.N=10,k=3.

那麼我們構造一個長度為3的單調遞減隊列：

首先，那8和它的索引0放入隊列中，我們用（8，0）表示，每一步插入元素時隊列中的元素如下：

0：插入8，隊列為：（8，0）

1：插入7，隊列為：（8，0），（7，1）

2：插入12，隊列為：（12，2）

3：插入5，隊列為：（12，2），（5，3）

4：插入16，隊列為：（16，4）

5：插入9，隊列為：（16，4），（9，5）

。。。。依此類推

那麼f(i)就是第i步時隊列當中的首元素：8，8，12，12，16，16，。。。

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ps：STL的deque介面

deque，意為double ended queue（雙端隊列），常讀作deck。其用法和大家熟知的vector類似，介面基本和vector雷同。至於二者的不同之處和孰優孰劣，上面摘錄的侯大師書裡說的也很明白。容器本身沒有絕對的好壞，關鍵看應用環境和需要。

    成員函數表如下：

函數	描述
assign(beg,end) assign(n,elem)	將[beg; end) 區間中的資料賦值 將n個elem 的拷貝賦值
at(idx)	傳回索引 idx 所指的資料，如果 idx 越界，拋出 out_of_range
back()	傳回最後一個資料，不檢查這個資料是否存在
begin()	傳回迭代器重的可一個資料
clear()	移除容器中所有資料
deque c1(c2) deque c(n) deque c(n, elem) deque c(beg,end) ~deque()	複製一個deque 建立一個deque,含有n個資料,資料均已預設構造產生 建立一個含有n個elem 拷貝的 deque 建立一個以[beg;end)區間的 deque 銷毀所有資料，釋放記憶體
empty()	判斷容器是否為空白
end()	指向迭代器中的最後一個資料地址
erase(pos) erase(beg,end)	刪除pos位置的資料，傳回下一個資料的位置 刪除[beg,end)區間的資料,傳回下一個資料的位置
front()	傳回地一個資料
get_allocator	使用建構函式返回一個拷貝
insert(pos,elem) insert(pos,n,elem) insert(pos,beg,end)	在pos位置插入一個elem拷貝,傳回新資料位元置 在pos位置插入n 個elem資料,無傳回值 在pos位置插入在[beg,end)區間的資料,無傳回值
max_size()	返回容器中最大資料的數量
pop_back()	刪除最後一個資料
pop_front()	刪除頭部資料
push_back(elem)	在尾部加入一個資料
push_front(elem)	在頭部插入一個資料
rbegin()	傳回一個逆向隊列的第一個資料
rend()	傳回一個逆向隊列的最後一個資料的下一個位置
resize(num)	重新指定隊列的長度
size()	返回容器中實際資料的個數
c1.swap(c2) swap(c1,c2)	將 c1 和 c2 元素互換 同上操作
operator []	返回容器中指定位置的一個引用