More Divisors—-反素數

題目：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=1562

題解：g(x)表示x的因子個數。

如果滿足對於任意的0<i<x，有g(i)<g(x)，則稱x為反素數。

它有如下性質：

1、一個反素數的質因子一定是從2開始的連續的質數。

2、一個反素數可以唯一表示成2^a*3^b*5^c······的形式，並且a>=b>=c>=d······。

證明：（僅供參考）

先證明性質2：
因為每個整數都有唯一的因式分解，所以表示唯一。

設某個整數Y的因式分解中有t1 個2，t2個3，t3個5······

則Y的因子數為sum=(t1+1)*(t2+1)*(t3+1)······

而Y=2^t1*3^t2*5^t3······

因為要使sum最大，則需要增大t1，t2，t3······的值，而對於2的指數t1，增大的速度最大，所以a最大，其次是b，c。

有了性質2，因為a>=b>=c>=d的。所以中間不會出現0的情況。所以連續。

求n以內的數，該數的因子數最多。

就是要求n以內的最大反素數x。

證明：

在x以內，g(x)最大，在大於x小於n之間不存在因子數大於g(x)的數。

假設存在p，使g(p)>g(x)，則p就是n以內的最大反素數，與x使最大反素數矛盾，顧不存在p。

n的最大值是10^16.

則最多用到14個素數來表示n。(2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43)

原始碼：

#include <stdio.h>typedef long long ll;int prime[14]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43};ll max,best;ll n;void getAnti_prime(ll num,int k,ll sum,int limit){    ll temp;    if(sum>max)    {        max=sum;        best=num;    }    if(sum==max&&best>num)  best=num;    if(k>=14)  return;    temp=num;    for(int i=1;i<=limit;i++)    {        if(temp*prime[k]>n)         break;         temp=temp*prime[k];         getAnti_prime(temp,k+1,sum*(i+1),i);    }}int main(){    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)    {        getAnti_prime(1,0,1,50);        printf("%lld\n",best);    }}