多解析度分析與小波變換–簡介

       傅裡葉變換的基礎函數的正弦函數，而小波變換基於一些小型波，稱為“小波”，它具有變化的頻率和有限的期間。這就允許它們對映像提供一張等效的樂譜，不光闡明了要演奏的音符（頻率），而且闡明了要何時演奏。相對而言，傳統的傅裡葉變換，只提供了音符或者頻率資訊，局部資訊在變換過程中丟失了。

       小波是多解析度理論的分析基礎。而多解析度理論與多種解析度下的訊號表示和分析有關，其優勢很明顯--某種解析度下無法發現的特性在另一個解析度下將很容易被發現。從多解析度的角度來審視小波變換，雖然解釋小波變換的方式有很多，但這種方式能簡化數學和物理的解釋過程。

       當觀察映像時，通常看到的是相串連的紋理與灰階級相似的地區，它們相互結合形成物體。如果物體的尺寸過小或者對比不高，通常採用較高的解析度來觀察；如果物體尺寸很大或者對比很強，只需要較低的解析度。如果物體尺寸有大有小，或者對比有強有弱的情況同時發生，那麼，以若干個解析度對它們進行研究將具有優勢。

       以多解析度來解釋映像的一種有效但概念簡單的結構就是影像金字塔。影像金字塔最初用於機器視覺和映像壓縮，一幅映像的金字塔式一系列以金字塔形狀排列的解析度逐步降低的映像集合。

       另一種與多解析度分析相關的重要映像技術是子帶編碼。在子帶編碼中，一幅映像被分解成一系列限帶分量的集合，稱之為子帶，他們可以重組在一起無失真地重建原始映像。最初是為語音和映像壓縮而研製的，子帶可以進行無資訊損失的抽樣。原始映像的重建可以通過插入、濾波、疊加單個子帶來完成。

       最後一個與多解析度分析有關的影像處理手段是哈爾（Haar）變換。它的重要性體現在它的基函數是眾所周知的最古老也是最簡單的正交小波。

       前面介紹了三種著名的影像處理技術，它們在數學理論多解析度分析（MRA）中扮演了重要角色。在MRA中，尺度函數被用於建立某一函數或映像的一系列近似值，相鄰兩個近似值之間的近似度相差2倍。被稱之為小波的增益集函數用於對相鄰近似值之間的差異進行編碼。