我對補碼的理解

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  我對補碼的最初的印象是大一的時候老師說按位取反再加一，卻不知道為什麼這樣做，最近看了一下資料，總結一下我的理解吧。

一、計數系統

  一個計數系統可以存多少容量狀態的數，我叫它作為計數系統的Mod。一個計數系統不斷地加一，那麼它表示的數的狀態也會周期性地變化，我叫這個周期的大小叫做Mod。

  舉個兩個例子，1、一個包含兩個bit的儲存單位，它可以表示00，加一變成01，加一變成10，加一變成11，再加一又變成了00。即該計數系統的Mod為4。2、一個時鐘顯示十二個小時，時針旋轉一周后回到原來的狀態，即該系統的Mod為12。

  由此，可以得到一個結論。這種周期性變化的計數系統，一個狀態加減整數倍的Mod，其狀態不會有不會發生變化。00加上4次之後還是00，12點時陣轉兩圈後還是12點。

二、變減為加

  在電腦中使用加法器對資料進行計算，那麼如何進行減法的運算呢？

  設Mod=16

  若a=3，b=-4，則a+b=a+b+Mod=-1+Mod=a+(Mod-4)=15(在計數系統中-1和15等價)

  實際上Mod-4就是b的補數，所有的減法在電腦中都可以轉化為加上減數的補數，對應電腦上的概念就是補碼。

  因此，電腦是使用補碼(補數)進行計算。

三、約定的加號或減號

  設現有一個4位的計數系統，那麼我們可以知道該系統的Mod=16，即該系統一共可以表示16個狀態。我也約定這個四位系統的0000狀態為0，向前連續加十六得到0000本身，對應表示的數字如下：

  1111 = 15    0000 = 0

  1110 = 14    0001 = 1

  1101 = 13    0010 = 2

  1100 = 12    0011 = 3

  1011 = 11    0100 = 4

  1010 = 10    0101 = 5

  1001 = 9    0110 = 6

  1000 = 8    0111 = 7

  如果這個計數系統是無符號位的，顯然可以知道它表示的資料範圍為：0~15

  如果這個計數系統是有符號位的呢？

  首先要對這些資料進行分配，現在的教科書上的做法就是把Mod前一半劃分給0~7，後一半Mod劃分給-8~-1，即如（這裡二進位都是補碼）：

  1111 = -1    0000 = 0

  1110 = -2    0001 = 1

  1101 = -3    0010 = 2

  1100 = -4    0011 = 3

  1011 = -5    0100 = 4

  1010 = -6    0101 = 5

  1001 = -7    0110 = 6

  1000 = -8    0111 = 7

  現在約定最高位為符號位，則顯然正數的補碼就是它本身，負數的補碼和原碼對照圖如下：

  1111 = -1    1001  ->  1110  +1  ->  1111

  1110 = -2    1010  ->  1101  +1  ->  1110

  1101 = -3    1011  ->  1100  +1  ->  1101

  1100 = -4    1100  ->  1011  +1  ->  1100

  1011 = -5    1101  ->  1010  +1  ->  1011

  1010 = -6    1110  ->  1001  +1  ->  1010

  1001 = -7    1111  ->  1000  +1  ->  1001

  1000 = -8    1000  ->  1111  +1  ->  1000

  這不正是按位取反再加一麼。

我對補碼的理解