N!分解素因子及若干問題

將N！表示成

N! = p1^t1*p2^t2*…pi^ti…*pk^tk（其中p1，p2……pk是素數，1<N<= 10^6）

顯然很容易通過素數篩選求出pi，因為1<pi<=N，關鍵是如何快速地求出ti。

我們先來看一下對於2這個素因子，把N！分成兩部分，即奇偶兩部分

 

假設N是偶數

N！

=1*2*3*4*5……N

=(2*4*6……) * (1*3*5……)

因為有N/2個偶數，所以偶數部分可以提出N/2個2，

=2^(N/2) * (1*2*3*……N/2) * (1*3*5*……)

=2^(N/2) * (N/2)! * (1*3*5*……)

 

看到了嗎！神奇的事情發生了,N規模的問題轉化成了N/2的問題了。上面假設了N是偶數，當然N是奇數時也是一樣的，只要規定這裡的除法是取整就可以了

 

於是有遞推公式 f(n,2) = f(n/2,2) + n/2，表示n！中2的個數。

 

用同樣的方法可以推出 f(n,p) = f(n/p) + n/p，表示n！中素數p的個數。

 

於是有代碼

 

int f(int n,int p)
{
if(n==0) return 0;
return f(n/p) + n/p;
}

 

將問題推廣一下：

 

問題1：N！的末尾有幾個0？

因為 10 = 2*5，所以只要知道N！有多少個2和多少個5，問題就解決了。Min(f(n,2),f(n,5)) 顯然f(n,2)>f(n,5)，所以問題就轉化成了求f(n,5)。

 

問題2：N!的轉化成12進位之後，末尾有幾個0？

和問題一樣，12=2*2*3，所以只要求Min(f(n,2)/2,f(n,3))，就可以了。

 

問題3： 求組合數C（n,m）(mod p)

C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!) ，只要對分子和分母分別分解素因子，然後因為C(n,m)肯定是整數，所以C(n,m)肯定可以表示成p1^t1*p2^t2*......pi^ti的形式，只要拿分子素因子的冪減去分母對應的素因子的冪即可。好了，後面就簡單了，二分快速冪模數......