N個數依次入棧，出棧順序有多少種？

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　　對於每一個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把進棧設為狀態‘1’，出棧設為狀態‘0’。n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位位元。由於等待入棧的運算元按照1‥n的順序排列、入棧的運算元b大於等於出棧的運算元a(a≤b)，因此輸出序列的總數目=由左而右掃描由n個1和n個0組成的2n位位元，1的累計數不小於0的累計數的方案種數。　　在2n位位元中填入n個1的方案數為C(2n,n),不填1的其餘n位自動填0。從中減去不符合要求（由左而右掃描，0的累計數大於1的累計數）的方案數即為所求。不符合要求的數的特徵是由左而右掃描時，必然在某一奇數位2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此後的2(n-m)-1位上有n-m個 1和n-m-1個0。如若把後面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位元，即一個不合要求的數對應於一個由n+1個0和n-1個1組成的排列。　　反過來，任何一個由n+1個0和n-1個1組成的2n位位元，由於0的個數多2個，2n為偶數，故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位元，即n+1個0和n-1個1組成的2n位元必對應一個不符合要求的數。因而不合要求的2n位元與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應。顯然，不符合要求的方案數為C(2n,n+1)。由此得出輸出序列的總數目=C(2n,n)-C(2n,n+1)=C(2n,n)/(n+1)=h(n+1)。 

//類比過程如下，dfs來填充入棧和出棧的標誌
#include<iostream> #include<cstring>#include<cstdio>#include<stack>#define N 100using namespace std;int a[N];int p[2*N];int pre[2*N];int used[2*N];int index[2*N];//如果a[i]==1，那麼表示第index[i]個數入棧 int n;int cnt;//記錄多少個出棧的序列 int C(int n){    int ans=1;    int m = 2*n;    int nn = n;    for(int i=1; i<=n; ++i){        ans *= m--;        ans /= i;    }    return ans/(nn+1);}void solve(){    memset(pre, 0, sizeof(pre));    memset(used, 0, sizeof(used));    int prek = 0;    for(int i=1; i<=2*n; ++i){        if(a[i] == 1){            pre[i] = prek;            prek = i;        } else {            int ii = prek;            while(used[ii])                 ii = pre[ii];            cout<<p[index[ii]]<<" ";//出棧             used[ii] = 1;            pre[prek] = pre[ii];        }    }    cout<<endl;}void solve1(){    stack<int>s;    int k=1;    for(int i=1; i<=2*n; ++i){        if(a[i] == 1)            s.push(p[k++]);        else {            cout<<s.top()<<" ";            s.pop();        }    }    cout<<endl;}void dfs(int k, int cnt0, int cnt1){    if(k>2*n){        //solve();         solve1();         ++cnt;         return ;    }    if(cnt1<n){//入棧         a[k] = 1;        index[k] = cnt1+1;//第幾個數入棧         dfs(k+1, cnt0, cnt1+1);    }    if(cnt0<cnt1){//出棧         a[k] = 0;        dfs(k+1, cnt0+1, cnt1);    }}int main(){    cin>>n;    for(int i=1; i<=n; ++i)         cin>>p[i];    dfs(1, 0, 0);    cout<<endl<<"類比個數:"<<cnt<<endl;    cout<<"公式個數:"<<C(n)<<endl;    return 0;}

類似問題 買票找零　　有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)最終結果：C(2n,n)-C(2n,n+1)

N個數依次入棧，出棧順序有多少種？