【網路流】最大流：點帶需求的流通、邊帶下界的流通

1）點帶需求的流通：

新的架構特點：有多個供給點（d(v)<0），都稱作源點；有多個需求點（d(v)>0），都稱作匯點。同時仍然滿足傳統最大流中的容量條件（0 <= f(e) <= cap(e)）和需求條件（f_in(v) - f_out(v) = d(v)）。

需要解決的問題：由於有多個源點和匯點，所以不再考慮最大化問題，而是考慮有沒有滿足容量條件和需求條件的一個可行流通（可行性）。

判斷可行性的方法是，把帶需求{ d(v) }的可行流通問題轉換為在另一個網路中找最大 s-t 流的問題。另一個網路的構造方法如下：

給個例子就是這樣的：

在G‘中找最大 s-t 流，那麼最大流的值是多少才能證明原圖G中存在可行流通。。。答案是P272，定理7.50：

G中存在一個帶{ d(v) }的可行流通，若且唯若G’的最大 s*-t* 流有值D（其中，D是所有需求的和，同時也是所有供給的和）。

2）點帶需求 和 邊帶下界的流通：

新的架構特點：有多個供給點（d(v)<0），都稱作源點；有多個需求點（d(v)>0），都稱作匯點；同時，每些邊e有最小流量 low(e) 的要求（即，必須使用某些邊，且仍然滿足傳統最大流中的容量條件（low(e) <= f(e) <= cap(e)）和需求條件（f_in(v) - f_out(v) = d(v)）。

需要解決的問題：由於有多個源點和匯點，所以不再考慮最大化問題，而是考慮有沒有滿足容量條件和需求條件的一個可行流通（可行性）。

判斷可行性的方法是，把點帶需求{ d(v) }和邊帶下界{ low(e) }的可行流通問題轉換為在另一個只有點帶需求{ d(v) }的網路中判斷可行流通的問題，進而轉換為在第三個網路中找最大 s-t 流的問題。另一個網路的構造方法如下：
對於所有有容量下界 low(e) 的邊，將容量變得 0 <= f(e) <= cap(e) - low(e)，相當於提前提供了 low(e) 這麼多流量的保障；那麼，e的尾部節點v應該還能提供的流量要相應減少low(e)；同時，e的頭部節點v應該在原有流量需要的基礎上，再加上強加給它的low(e)的需求。可能沒描述清楚，看圖：

去下界的轉換相當於 v 到 w 有 low(e)個流量已經流過去，那要不要加容量為low(e)的反向邊。
答案： 不用。反向邊相當於給了後悔的機會，加了反向邊，之後就可以把已經流過去的low(e)個流量又推回來，這不是我們想要看到的。