[網路流專練3][最小路徑覆蓋問題]

標籤：存在   集合   容量   上界   lock   長度   演算法   簡潔   選中   

題目描述

«問題描述：

給定有向圖G=(V,E)。設P 是G 的一個簡單路（頂點不相交）的集合。如果V 中每個頂點恰好在P 的一條路上，則稱P是G 的一個路徑覆蓋。P 中路徑可以從V 的任何一個頂點開始，長度也是任意的，特別地，可以為0。G 的最小路徑覆蓋是G 的所含路徑條數最少的路徑覆蓋。設計一個有效演算法求一個有向非循環圖G 的最小路徑覆蓋。提示：設V={1，2，.... ，n}，構造網路G1=(V1,E1)如下：

每條邊的容量均為1。求網路G1的（ 0 x , 0 y ）最大流。

«編程任務：

對於給定的給定有向非循環圖G，編程找出G的一個最小路徑覆蓋。

輸入輸出格式輸入格式：

件第1 行有2個正整數n和m。n是給定有向非循環圖G 的頂點數，m是G 的邊數。接下來的m行，每行有2 個正整數i和j，表示一條有向邊(i,j)。

輸出格式：

從第1 行開始，每行輸出一條路徑。檔案的最後一行是最少路徑數。

輸入輸出範例輸入範例#1：

11 121 21 31 42 53 64 75 86 97 108 119 1110 11

輸出範例#1：

1 4 7 10 112 5 83 6 93

Solution

1.模型：有向非循環圖DAG的最小路徑覆蓋

• s->Xi，容量為1。
• Xi->Yj，(i, j)∈E，容量上界為1。
• Yi->t，容量上界為1。

DAG的最小路徑覆蓋=|V|-對應二分圖的最大匹配。

約束是什嗎？對路徑的定義中，有至關重要的一點：允許長度為0。於是解的存在性得到了保證。因此，只需滿足：對於任意一點，至多有一條與它關聯的入邊和與它關聯的出邊被選中。
二分圖的匹配，可以從頂點對應的角度看待，也可以從邊的角度看待：選出一些邊，使得每個頂點至多與一條邊關聯。和本問題的約束對比，發現有向非循環圖不是二分圖，並且對於頂點而言，邊分為入邊和出邊兩類。考慮把點i拆成Xi、Yi，入邊連到Yi，出邊從Xi出發。這樣，問題的約束便和二分圖匹配相一致。
目標是什嗎？使路徑覆蓋數最小。除了直接數，還能用什麼來刻畫路徑覆蓋數？頭的數量或尾的數量。什麼樣的點是頭？沒有匹配邊與對應的Yi關聯。尾？沒有匹配邊與對應的Xi關聯。所以，DAG的最小路徑覆蓋=|V|-對應二分圖的最大匹配。

hzwer這兒有另一種更簡潔的看待方法：

如果無匹配，顯然要n條路徑才能覆蓋所有點，兩個點匹配意味著將可以把它們用一條路徑覆蓋，路徑數就可以減1

我還有一種另類看待方法：
帶上下界的網路流。
Step 1
- s->Xi，容量上界為1。
- Xi->Yi，容量下界為1，上界inf。
- Yi->Xj，(i, j)∈E，容量上界為1。
- Yi->t，容量上界為1。
求解s-t最小流。

Step 2
看出一個可行流，於是省去通常求解s-t可行流的步驟。
網路變換為：
- Xi->s，容量上界為1。
- Yi->Xj，(i, j)∈E，容量上界為1。
- t->Yi，容量上界為1。
此網路的t-s最大流與原s-t可行流的疊加，即為原s-t最小流。s-t可行流的值為|V|，用|V|去減t-s最大流即可。

這種看待方法和hzwer的在實質上相同，但是是從形式上的變換得到的。

為什麼強調DAG？因為我們只是簡單地拆點、匹配，而沒有在意這兩點是否已經在同一條路徑裡了。比如，一個環，對應二分圖的最大匹配為|V|，實際上，作為一條有始有終的“路徑”，它是不能封口的。

轉載自http://blog.csdn.net/ruoruo_cheng

因此，ans=n-最大匹配

2.演算法

二分圖最大匹配用網路流最大流實現

[網路流專練3][最小路徑覆蓋問題]