KMP演算法的next函數求解和分析過程

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wang0606120221：http://blog.csdn.net/wang0606120221/article/details/7402688

 

 

假設KMP演算法中的模式串為P，主串為S，那麼該演算法中的核心是計算出模式串的P的next函數。

KMP演算法是在已知的模式串的next函數值的基礎上進行匹配的。

由於本次只討論next的求值過程，因此KMP演算法的數學推理過程這裡不再講解。

從KMP演算法的數學推理可知，此next函數只取決與模式比對串自身的特點和主串沒有任何關係，此函數

預設認為next[1]=0，由於next[j]=k表示的意義是當模式串和主串的第j個字元不匹配時，那麼接下來和主串的第j個

字元匹配的字元是模式串的第k個字元。因此，next[1]=0表示當主串的當前字元和模式串的第1個字元不匹配，接

下來需要用模式串的第0個字元和主串的當前字元匹配，由於模式串下標是從1開始的，所以不可能存在第0個字元，

即接下的匹配動作是主串和模式串同時向右移動一位，繼續模式比對。

例如：主串：a c a b a a b a a b n a c

       模式串：a b a a b

          主串：a c a b a a b a a b n a c

      模式串：   a b a a b

          主串：a c a b a a b a a b n a c

      模式串：      a b a a b

此時，主串和模式串不匹配，而next[1]=0，因此，模式串的第0個字元和主串的第2個字元比較，而模式串沒有第0個

字元，此時可以把第0個字元理解為空白字元，即模式串向右移動一位，主串再繼續喝模式串匹配，而此時的主串的當

前字元是第3個字元，整體來看是當主串和模式串的第1個字元不匹配時，主串和模式串同時右移一位，然後繼續匹配。

接下來講解一般情況下的next函數值求解過程。

設next[j]=k，根據KMP演算法的模式串的特點可知，‘p1p2......pk-1’=‘pj-k+1......pj-1’，其中k必須滿足1<k<j，並且不可能存在k‘>k滿足上面等式。那麼能夠根據next[j]=k計算出next[j+1]的值嗎？顯然是能夠計算出來的，不然我也不廢話了，呵呵。

 

下面討論具體求解過程：

當知道next[j]=k的值，求next[j+1]的值時候有兩種情況，一種是pk=pj，另一種情況是pk!=pj。

1.當pk=pj時，那麼可以得出在模式串中存在‘p1......pk’=‘pj-k+1......pj’子串等式。並且不可能存在k‘>k，滿足

"p1......pk’ "=" pj-k’+1......pj "等式（該等式中用的是雙引號，只是為了區別外邊字串的引號和內部k‘的引號，沒有其它意圖，特此說明），因為根據KMP演算法的說明k是最大的。

因此，顯而易見next[j+1]=k+1=next[j]+1。該式表示當主串的當前字元和模式串的第j+1個字元不匹配時，需要使用模式串的第k+1個字元和當前主串字元比較匹配，即主串的當前字元不變，變的只是模式串的字元，可以理解為模式串向右移動j+1-（k+1）=j-k個字元。

2.當pk!=pj時，可知在模式串中不存在‘p1......pk’=‘pj-k+1......pj’等式。表明不能簡單的用模式串的第k+1個字元和主串比較，因為pk!=pj，此時需要把模式串向右移動更多的位元，直到找出模式串的前m個字元和主串中的m個字元匹配為止或者沒有找到這樣的子串，那麼意味著模式串需要從第1個字元開始和主串從新匹配。

 

          主串：a c a b a a c a b a a b a a b n a c

      模式串：      a b a a b

          主串：a c a b a a c a b a a b a a b n a c

      模式串：            a b a a b

在此首先給出了next函數的數值，為了方便說明當pk!=pj時，使用pk=pj的方法是不對的。

next[1]=0，next[2]=1，next[3]=1，next[4]=2，next[5]=2.

此時，i=7，j=5，而s[7]!=t[5]，如果簡單按照pk=pj時候的方法，用第k+1=2+1=3個字元和主串的第7個字元比較時，顯然不行，因為s[6]=a!=b=t[2]。前面子串都不匹配，那麼匹配後面的字元顯然是笑話。說明此時模式串需要向右移動更多的位元，知道找到合適的字元或者沒有找到，需要從第1個字元重新和主串匹配。

 

因為已經知道next[j]=k，因此可知模式串中p1=pj-k+1，p2=pj-k+2，......，pk-1=pj-1，則此時應該將模式串繼續向右移動直到第m+1個字元，該字元滿足’p1......pm‘=’pj-m+1......pj‘，（1<m<k<j）並且不存在m’>m也滿足該等式。此時就可以使用第m+1個字元和當前主串字元比較匹配，（假設當前主串的字元索引是i+1）

此時主串中必存在關係式‘si-m+1......si’=‘pj-m+1......pj’=‘p1......pm’，因此用模式串的第m+1個字元和當前主串字元比較匹配是正確的。此時next[j+1]=m+1=next[......next[next[k]]]+1。

 

這裡m=next[......next[next[k]]]，這裡解釋一下m=next[......next[next[k]]]，由於pk!=pj，因此需要向右移動模式串，

首先移動第next[k]個字元和第j個字元比較，假設next[k]=h，如果ph=pj，

則說明模式串中存在等式‘p1......ph’=‘p-h+1......pj’，（1<h<k<j）（假設主串中當前和模式串比較字元是第i+1個）則主串中必然存在‘si-h+1......si’=‘pj-h+1......pj’=‘p1......ph’等式（1<h<k<j）。也就是說next[j+1]=h+1。

                                                          即next[j+1]=next[k]+1。

同理，如果ph!=pj，則模式串還需要繼續向右移動，用第next[h]個字元和第j個字元比較，以此類推，直到第j個字元和模式串中的某個字元匹配成功或者不存在u（1<u<j）滿足等式‘p1......pu’=‘pj-u+1......pj’。如果找到了匹配字元u，那麼

next[j+1]=u+1，否則next[j+1]=1。

下面舉例說明該過程：next函數值只與模式串自身的特點有關；

 模式串的索引：j   1 2 3 4 5 6 7 8

           模式串：     a b a a b c a c

           next值：      0 1 1 2 2 3 1 2

預設設定next[1]=0；

計算next[2]：因為p1......p2-1，不可能存在索引k，滿足1<k<2，因此next[2]=1；

計算next[3]：因為p3-1=b！=a=p1，next[2]=1，而next[1]=0，所以不存在u，滿足上述運算式，next[3]=1；

計算next[4]：next[3]=1，p4-1=a=p1，next[4]=next[3]+1=1+1=2；

計算next[5]：next[4]=2，p2=b，p5-1=a！=p2，pj=p4=a，next[2]=1，p1=a=pj，所以next[5]=next[2]+1=1+1=2；

計算next[6]：next[5]=2，p2=b，p6-1=b=p2，next[6]=next[5]+1=2+1=3；

計算next[7]：next[6]=3，p3=a，p7-1=c！=p3，pj=p6=c，next[3]=1，p1=a！=pj，next[1]=0，因此不存在u，所以，next[7]=1；

計算next[8]：next[7]=1，p1=a，p8-1=a=p1，next[8]=next[7]+1=1+1=2。

            

為什麼當模式串第j個字元和主串不匹配時接著用第next[k]個字元直接和第j個字元比較，而不是用第j-1個字元和主串比較呢？

我的證明過程如下。

證明：因為前提條件是next[j]=k，那麼可以得知’p1.......pk-1‘=’p-k+1......pj-1‘，並且k滿足1<k<j和不存在h，1<k<h<j，滿足上面等式，即‘p1......ph-1’=‘pj-h+1......pj-1’，即此時的k值是最大的。

假設此時主串索引為i+1，模式串為j+1，那麼‘p1......pj-1’=‘p2......pj’等式是肯定不能成立的。因為如果該等式成立，那麼就會存在等式‘p1......pj-2’=‘p2......pj-1’成立，而根據next[j]=k的前提條件，我們已經得出不存在h，1<k<h，滿足等式‘p1......ph-1’=‘pj-h+1......pj-1’，而此時卻奇怪得出了存在j-1滿足上面等式，和已知條件產生矛盾。

所以，next[k]和j之間的所有字元都是不能滿足演算法尋找的字元滿足的等式的條件的。因此，如果pk!=pj，那麼接下來必須用從0到next[k]之間的字元和第j個字元比較匹配，所以本演算法首先採用從第next[j]個字元和第j個字元比較匹配。

 

如果我證明的不對，還請大牛們把正確答案告訴我一下，讓我也得到正確的證明過程。謝謝！

 

終上所述，next的函數運算式如下所示：

                                 0，j=1；

                   next[j]=  MAX{k | ‘p1......pk-1’=‘pj-k+1......pj-1’，1<k<j}，集合不為空白；

                                1，其他情況。

            

                假設next[j]=k。

                                 next[j]+1=k+1，pj=pk；

                next[j+1]=1，pk!=pj，不存在字元u，1<u<k，滿足等式‘p1......pu’=‘pj-u+1......pj’；

                                 next[......next[next[k]]]+1，pk!=pj，找到了u，1<u<k，‘p1......pu’=‘pj-u+1......pj’。

本部落客要講的是如何按照地推的思想來計算出所有的next函數， 減少每次都掃描整個模式串計算next數值，通過遞迴演算法可以利用前面已經計算出的next[j]的數值可以計算出next[j+1]，這樣可以提高不少效率。 

 

KMP演算法的求next數值函數代碼如下：其中綠色的行代表代碼，其它代表對每一行代碼的注釋。

void getNext(String p,int[] next)

{

     //next初始化next[1]=0，由於需要計算最大k值，因此從第2個字元開始尋找匹配子串，使得u滿足1<u<j

     //’p1......pu-1‘=’pj-u+1......pj-1‘，本演算法使用了兩個索引指標，i和j，並且初始化i=1，j=0。這裡為了計算出next數        //值，主串和模式串都是使用的模式串資料。如

     //主串：    a b a a b c a c，i=1；

     //模式串：   a b a a b c a c，j=0.

      int i=1; next[1]=0; j=0;

   //線性掃描主串，主串不回朔，只能增加，而模式串可能會不斷的向右滑動，尋找字元u，使得pu=pj，求解                  //next[j+1]。

     while(i<=p.length)

      {

      //由於模式串不存在第0個，因此j==0代表主串和模式串肯定不匹配，此時，主串和模式串都必須增加1個索引，然       //後繼續匹配操作。此時j=0+1=1，next[i]=1和當主串和模式串的第0個字元比較得出的結果一致，即此時需要使用模式串的第1個字元和主串匹配比較。另外j==0條件還包含了一種情況是在模式串中找不到字元u，使得pu=pj，此時next[j]都等於1。

      //p[i]=p[j]條件表示主串和模式串匹配，因此，主串和模式串都需要增加一個字元索引，假設此時主串索引為i和模式串索引為j，可以得出，’p1......pj‘=’pi-j+1......pi‘，由於i和j都要增加一個字元索引，此時主串為i=i+1，模式串為j=j+1，所以next[i]=j；

           if(j==0||p[i]==p[j]) {++i;++j;next[i]=j;}

    //當j!=0並且p[i]!=p[j]時，執行下面else代碼，該代碼錶示此時模式串需要向右移動，即為了使下一次while迴圈比較時候使用第next[j]個字元和主串中的第i個字元匹配比較。

           else j=next[j];

     }

  //當迴圈結束時候，next數組中存放的就是模式串的next初始化的全部數值。即噹噹前模式串中的字元和主串中的值不匹配時候，下一步需要使用哪一個字元和主串中的當前字元比較匹配。

}

KMP演算法的next函數求解和分析過程