NOIP 2006 解題報告

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第一題：

在Mars星球上，每個Mars人都隨身佩帶著一串能量項鏈。在項鏈上有N顆能量珠。能量珠是一顆有頭標記與尾標記的珠子，這些標記對應著某個正整數。並且，對於相鄰的兩顆珠子，前一顆珠子的尾標記一定等於後一顆珠子的頭標記。因為只有這樣，通過吸盤（吸盤是Mars人吸收能量的一種器官）的作用，這兩顆珠子才能彙總成一顆珠子，同時釋放出可以被吸盤吸收的能量。如果前一顆能量珠的頭標記為m，尾標記為r，後一顆能量珠的頭標記為r，尾標記為n，則彙總後釋放的能量為（Mars單位），新產生的珠子的頭標記為m，尾標記為n。

需要時，Mars人就用吸盤夾住相鄰的兩顆珠子，通過彙總得到能量，直到項鏈上只剩下一顆珠子為止。顯然，不同的彙總順序得到的總能量是不同的，請你設計一個彙總順序，使一串項鏈釋放出的總能量最大。

例如：設N=4，4顆珠子的頭標記與尾標記依次為(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我們用記號⊕表示兩顆珠子的彙總操作，(j⊕k)表示第j，k兩顆珠子彙總後所釋放的能量。則第4、1兩顆珠子彙總後釋放的能量為： (4⊕1)=10*2*3=60。 這一串項鏈可以得到最優值的一個彙總順序所釋放的總能量為 ((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。 

求彙總能釋放的最大總能量 。

 

 

解題過程： 1.石子合并的變形，處理方法可以參照USACO Broken Chain的方法，把環斷開成鏈，然後複製一遍，這樣處理起來方便很多。 2.F[i][j] 表示從第i個開始一共j個珠子合并得到的最大總能量，枚舉中間點（最後一次合并的2個珠子）即可轉移。 3.易錯點：別忘了要寫F[i+n][j]=F[i][j]，不要以為

 F[i+n][j]用不到，其實不然。比如n=4，F[3][4]是要用到F[5][2]的；如果忘記寫，只能拿20分。

 

 

 第二題：

 金明的預算方案，老題目了，分5種狀態轉移就好，由於錢是10的倍數，描述狀態的時候除以一個10.否則空間會不夠。

 

 

第三題：

我們現在要利用m台機器加工n個工件，每個工件都有m道工序，每道工序都在不同的指定的機器上完成。每個工件的每道工序都有指定的加工時間。 每個工件的每個工序稱為一個操作，我們用記號j-k表示一個操作，其中j為1到n中的某個數字，為工件號；k為1到m中的某個數字，為工序號，例如2-4表示第2個工件第4道工序的這個操作。在本題中，我們還給定對於各操作的一個安排順序。 例如，當n=3，m=2時，“1-1，1-2，2-1，3-1，3-2，2-2”就是一個給定的安排順序，即先安排第1個工件的第1個工序，再安排第1個工件的第2個工序，然後再安排第2個工件的第1個工序，等等。 一方面，每個操作的安排都要滿足以下的兩個約束條件。 (1) 對同一個工件，每道工序必須在它前面的工序完成後才能開始； (2) 同一時刻每一台機器至多隻能加工一個工件。 另一方面，在安排後面的操作時，不能改動前面已安排的操作的工作狀態。 由於同一工件都是按工序的順序安排的，因此，只按原順序給出工件號，仍可得到同樣的安排順序，於是，在輸入資料中，我們將這個安排順序簡寫為“1 1 2 3 3 2”。 還要注意，“安排順序”只要求按照給定的順序安排每個操作。不一定是各機器上的實際操作順序。在具體實施時，有可能排在後面的某個操作比前面的某個操作先完成。 例如，取n=3,m=2，已知資料如下：

工件號	機器號/加工時間
	工序1	工序2
1	1/3	2/2
2	1/2	2/5
3	2/2	1/4

則對於安排順序“1 1 2 3 3 2”，中的兩個實施方案都是正確的。但所需要的總時間分別是10與12。

 

當一個操作插入到某台機器的某個空檔時（機器上最後的尚未安排操作的部分也可以看作一個空檔），可以靠前插入，也可以靠後或置中插入。為了使問題簡單一些，我們約定：在保證約束條件（1）（2）的條件下，盡量靠前插入。並且，我們還約定，如果有多個空檔可以插入，就在保證約束條件（1）（2）的條件下，插入到最前面的一個空檔。於是，在這些約定下，上例中的方案一是正確的，而方案二是不正確的。 顯然，在這些約定下，對於給定的安排順序，符合該安排順序的實施方案是唯一的，請你計算出該方案完成全部任務所需的總時間。 

 

 

解題過程：

1.實在不清楚這題考的是什麼。演算法都告訴你了，直接類比。題目要多看幾遍，搞了半天才看懂題目。 2.儲存m個機器的各個空檔的起始位置和寬度，從前往後找到第一個符合要求的插入即可，同時修改各個空擋的資訊，我是用O(n)的時間直接讓數組往後移一位 ，如果要追求完美，用鏈表O（1）的時間，但是寫起來也麻煩。 

 

第四題：

設r是個2^k 進位數，並滿足以下條件： （1）r至少是個2位的2^k 進位數。 （2）作為2^k 進位數，除最後一位外，r的每一位嚴格小於它右邊相鄰的那一位。 （3）將r轉換為2進位數q後，則q的總位元不超過w。 在這裡，正整數k（1≤k≤9）和w（k<w≤30000）是事先給定的。 問：滿足上述條件的不同的r共有多少個？ 我們再從另一角度作些解釋：設S是長度為w 的01字串（即字串S由w個“0”或“1”組成），S對應於上述條件（3）中的q。將S從右起劃分為若干個長度為k 的段，每段對應一位2^k進位的數，如果S至少可分成2段，則S所對應的位元又可以轉換為上述的2^k 進位數r。 例：設k=3，w=7。則r是個八位元（2^3=8）。由於w=7，長度為7的01字串按3位一段分，可分為3段（即1，3，3，左邊第一段只有一個二進位位），則滿足條件的八位元有： 2位元：高位為1：6個（即12，13，14，15，16，17），高位為2：5個，…，高位為6：1個（即67）。共6+5+…+1=21個。 3位元：高位只能是1，第2位為2：5個（即123，124，125，126，127），第2位為3：4個，…，第2位為6：1個（即167）。共5+4+…+1=15個。 所以，滿足要求的r共有36個。答案不超過200位

解題過程：

想到2種方法，不過第二種容易寫一些。 首先分析一下資料範圍，w<=30000，k<=9，r最長長度為2^9-1=511，因此w最大為511*9=4500，因此w最大在4500左右，如果更大，多出的長度只能都是0，不必管。
方法一（動態規劃）： F[i][j]表示以不小於i的數字打頭且長度為j的遞增序列有多少個，（所有數字都是1~2^k-1）。 狀態轉移方程： F[i][j]=F[i+1][j](不用i打頭的情況)+F[i+1][j-1]（用i打頭的情況）; 特別地，當i+j=2^k的時候F=1； 當j=1的時候，F=2^k-i； 1.i，j最大都能達到511，然後儲存200位高精度的數字，一共要500*500*200+=5000w，空間明顯不夠，不過資料貌似沒那麼噁心，儲存100位高精度數字貌似也可以過，空間剛好夠。。正解是用滾動數組。 2.如何根據F數組求解答案？首先是分2種情況。令p=w/k，q=2^k-1，m=w%k，c=2^m-1； A.轉換成2進位時，除了有p段，前面還有m個0或1，也就是說r（2^k進位下）的最左邊一位s是1~c的時候，有sum(F[s][p+1])種情況。 B.r最多有p段的時候，枚舉段數s，答案就是sum（F[1][s]）; 合并起來就是答案，用滾動數組的時候，因為j=p+1是固定的，所以讓j滾起來用。也就是用F[i]表示F[i][p+1];一開始做到這裡我就傻掉了，因為求情況B的時候，sum（F[1][s]）沒法求了。。頭暈，睡了一覺後就轉到第二種方法去寫了。。結果寫第二種方法的時候也碰到這種情況，（對滾動數組理解不夠深刻啊。），想到瞭解決方法。這裡其實dp的時候順便用一個數組把所有F[1][j]儲存下來就ok了。
方法二（組合數學）： 組合數的求法就不說了，關鍵是如何利用組合數求ans。 情況也是上面一樣AB兩種。 A.比如最左邊是2的時候，那麼右邊還有p段，也就是說在3~q裡取p個數排成遞增的隊列，也就是在q-2個數裡取p個數，方案數就是C（q-2，p）；所以枚舉最左邊的數加起來就好。 B.同樣也是枚舉段數s，答案就是在q個數裡取s個數，就是C（q，s）；
演算法不難想到，難的是高精度的處理和滾動數組的最佳化。 另外在高精度輸出答案的時候，如果答案是0，別忘了輸出，因為一般都是pos=200，while（a[pos]==0）pos--，如果全是0的話就沒輸出了。