NOIP 2015 簡要題解_NOIp

最終還是打了個漂亮的醬油

[Day 1]

T1 神奇的幻方

送分類比題，但是遇到了一個非常流弊的學弟：

 

 

/*************************************以上純屬娛樂 割********************************************/

T2 資訊傳遞

大意：在一個只有n條有向邊的圖中，每個結點出度為1，求一個包含節點數最少的環。

分析：因為只有n條邊並且每個點都有且僅有一條邊連出去，所以只可能存在簡單環，不會出現那種8字形的環套環。

證明：每個點有兩種情況：1.不在任何一個環中 這樣的點可以直接忽略掉，看成是有n-1個點,n-1條邊來證明就行了。2.在某個環中。那麼如果我們現在有了一個圈圈形狀的環，大小為k，那麼每一個點都應該入度出度都為1，這樣的環只存在一個迴路，也就是一個簡單環，如果存在多個迴路，那麼應該存在某個點的入度>1，但是又要保證別的點出度至少為1，所以出度之和應該是>k的，但入度之和=k，無法滿足，所以不存在某個環存在兩條或以上數量的迴路。證畢。

滿足了這樣的性質，tarjan或者O(n)掃描都是可以解決本題的。

T3 鬥地主

與一些HN、ZJ的選手在網上討論，覺得這道題目作為第三題，沒有體現出應有的價值，只是讓很多人在這上面花費了大量時間而已，並且首先題目描述有不清晰之處，而且資料純隨機也讓人很不是滋味，畢竟也許有的人用搜尋剪枝碰巧能拿高分甚至AC，而那些寫的很好的標準演算法卻被卡掉，OI畢竟不是運氣的較量，而是實力的爭奪。

因為之前類比賽的時候寫過一次狀壓DP爆空間，然後這道題空間1G太過耀眼，再加上NP問題複雜的狀態以及相對略小的資料範圍，在考場上就朝著狀壓DP的方向思考，首先對於每一副手牌，我們預先處理出每一種可能的出牌方式，然後丟進一個數組裡，在DP的時候，記錄一個cnt表示當前是第幾次出牌，用bool[i](i是位元)表示出cnt次牌時，狀態i是否能實現，然後只要某一次滿足2^m-1也就是所有牌全出掉的情況可以實現時就退出，此時的cnt就是最少出牌次數。

具體時間複雜度根據每副牌而有很大差異，但是應該過60%的資料是沒有問題的。

賽後補：拿到程式以後再寫了寫，狀壓DP確實是能過60%的點，但是想AC的話還是要用到DFS+狀壓DP或者直接A*。

 

[Day 2]

T1 跳石頭

看到最大值最小或者最小值最大之類的問題，很容易想到是二分答案，
具體說明:假設我們已經知道答案是k，也就是滿足最小的距離最大為k，那麼最終搬走石頭以後任意兩個石頭之間的距離都是大於等於k的,那麼我們只要檢驗是否能搬走m塊石頭使得滿足k就可以了。
首先，題目告訴我們，起點石頭也就是0是固定的，然後如果我們搬走一個石頭i的話，如果左邊的石頭已經滿足答案k，那麼移除i對答案是沒有影響的，因為到左邊石頭的距離只會變大，不可能小於k。
對於當前的石頭i，下一塊石頭為j，pre[i]為i上一塊石頭，sub[j]為j下一塊石頭

有兩種可能：
1.i到j的距離小於等於k,也就是不滿足答案，那麼我們要做的是，移除j。
因為i到pre[i]是>=k的，那麼j到pre[i]一定也>=k，但是i都不一定滿足i到sub[j]的距離>=k，更不談離sub[j]更近的j了，所以為了之後的石頭考慮，我們需要移除j。
2.i到j的距離大於k，也就是i,j之間已經符合條件了，那麼就可以什麼都不動了。
因為i到j的距離已經大於k了，所以對於j之後每一塊石頭，都是滿足條件的，所以i對檢驗答案並沒有什麼影響了，那j如何考慮呢。j之後就會成了下一個i，再如上文分兩種情況處理了。
所以具體就是二分答案k，然後O(n)檢驗，總複雜度O(nlogL)。

PS：有一種特殊情況需要考慮，也就是n可以等於0，這時候答案直接就是L，但是處理方法很簡單，二分的時候要將上界設為L，這樣就不會有什麼影響了。

 

T2 子串

大意：求將B串選出k段，順次拼起來能構成A串的方案數。

本題的階段非常鮮明，f[i][j][t]表示A,B分別匹配到i,j位時，已經用到了B的第t個子串的方案數，另外match[i][j]表示A,B分別匹配到i,j位時，最多可以向前匹配多少位，如A=cabab,B=cab,那麼match[5][3]=2，match可以暴力預先處理出來。

考慮第i位不匹配和最多向前匹配match[i][j]位的情況，由此得出轉移方程：

但是很明顯這樣的複雜度在最壞情況下是O(n*m^2*k)，所以我們要考慮最佳化。

首先是空間上：n*m*k可以達到4kw，明顯不夠用，然後我們發現，選到第t個子串的方案數只和選到t-1個子串的方案數有關，所以我們考慮以時間換空間，用滾動數組，f[0]和f[1]兩個二維數組交替使用，解決空間問題。

然後是時間上：觀察這個轉移方程，實際上是一個求和，那麼具體是什麼呢。我們如果把f[i][j]看成一個二維矩陣，那麼實際上就是求的以i-1,j-1(因為每個子串不可為空所以至少要選一個)為右下角,i-match[i][j],j-match[i][j]為左上方的的正方形的主對角線上的元素之和，所以對於這種求和，我們可以考慮用類似首碼和的方法O(1)轉移,另開數組g[i][j]表示以i,j為右下角的整條斜線上元素之和，那麼轉移方程就更新為：

這樣就降掉了一個O(m)的時間，但是因為使用滾動數組而且常數有點大，所以在實際枚舉的時候再注意一些小最佳化剔除一些不必要的狀態。

T3 運輸計劃

在考場上並沒有做出來，敲了個50的樸素，後來請教了一下wzy和zk，太厲害了。

大體架構就是二分答案然後用LCA來檢驗。

但是有幾個注意點：

1.二分的時候wzy是直接二分路徑總長度，zk是二分的選取的作為蟲洞的邊的長度，這樣就差距了約一個log層級的複雜度，但對實際效果是一樣的，這點值得吸取教訓。

2.求LCA的時候如果用普通的倍增會掛掉，要用Tarjan離線求LCA。

3.還未解決的內容：我們在做路徑處理的時候可以用一些特殊的技巧，給每一個點一個權值，在LCA的時候順帶處理一下，然後就可以得到每一條邊被多少條路徑覆蓋了，方便之後檢驗答案。