NOIP 2016 憤怒的小鳥

題目描述

Kiana最近沉迷於一款神奇的遊戲無法自拔。

簡單來說，這款遊戲是在一個平面上進行的。

有一架彈弓位於（0,0)處，每次Kiana可以用它向第一象限發射一隻紅色的小鳥，小鳥們的飛行軌跡均為形如y=ax^2+bx的曲線，其中a,b是Kiana指定的參數，且必須滿足a<0。

當小鳥落回地面（即x軸）時，它就會瞬間消失。

在遊戲的某個關卡裡，平面的第一象限中有n只綠色的小豬，其中第i只小豬所在的座標為(xi,yi)。

如果某隻小鳥的飛行軌跡經過了(xi,yi),那麼第i只小豬就會被消滅掉，同時小鳥將會沿著原先的軌跡繼續飛行；

如果一隻小鳥的飛行軌跡沒有經過(xi,yi)，那麼這隻小鳥飛行的全過程就不會對第i只小豬產生任何影響。

例如，若兩隻小豬分別位於（1,3)和（3,3)，Kiana可以選擇發射一隻飛行軌跡為y=-x^2+4x的小鳥，這樣兩隻小豬就會被這隻小鳥一起消滅。

而這個遊戲的目的，就是通過發射小鳥消滅所有的小豬。

這款神奇遊戲的每個關卡對Kiana來說都很難，所以Kiana還輸入了一些神秘的指令，使得自己能更輕鬆地完成這個遊戲。這些指令將在【輸入格式】中詳述。

假設這款遊戲一共有T個關卡，現在Kiana想知道，對於每一個關卡，至少需要發射多少只小鳥才能消滅所有的小豬。由於她不會算，所以希望由你告訴她。

輸入輸出格式
輸入格式：

第一行包含一個正整數T，表示遊戲的關卡總數。

下面依次輸入這T個關卡的資訊。每個關卡第一行包含兩個非負整數n,m，分別表示該關卡中的小豬數量和Kiana輸入的神秘指令類型。接下來的n行中，第i行包含兩個正實數(xi,yi)，表示第i只小豬座標為(xi,yi)。資料保證同一個關卡中不存在兩隻座標完全相同的小豬。

如果m=0，表示Kiana輸入了一個沒有任何作用的指令。

如果m=1，則這個關卡將會滿足：至多用只小鳥即可消滅所有小豬。

如果m=2,則這個關卡將會滿足：一定存在一種最優解，其中有一隻小鳥消滅了至少只小豬。

保證1<=n<=18，0<=m<=2，0 < xi,yi < 10，輸入中的實數均保留到小數點後兩位。

上文中，符號和分別表示對c向上取整和向下取整

輸出格式：

對每個關卡依次輸出一行答案。

輸出的每一行包含一個正整數，表示相應的關卡中，消滅所有小豬最少需要的小鳥數量

輸入輸出範例

輸入範例#1：
2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00

輸出範例#1：
1
1

輸入範例#2：
3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00

輸出範例#2：
2
2
3

輸入範例#3：
1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99

輸出範例#3：
6

說明

【範例解釋1】

這組資料中一共有兩個關卡。

第一個關卡與【問題描述】中的情形相同，2隻小豬分別位於（1.00,3.00)和 (3.00,3.00)，只需發射一隻飛行軌跡為y = -x^2 + 4x的小鳥即可消滅它們。

第二個關卡中有5隻小豬，但經過觀察我們可以發現它們的座標都在拋物線 y = -x^2 + 6x上，故Kiana只需要發射一隻小鳥即可消滅所有小豬。

【分析】
尹神orz，這題我暴搜了一個多小時搜了60，我尹60行搞定。

我的非正解方法是深搜，先預先處理出n只豬和t只小鳥的關係，如果第i只豬能被第j只小鳥砸中，那麼兩者連一條邊，問題轉化為如何用最少的小鳥點覆蓋所有的豬。然後瞎胡搜也不會剪枝，於是光榮TLE。當然某些同學也能搜出來，我不太行啊…

正解是狀壓dp。預先處理出f[i][j]，表示第i只豬和第j只豬被一隻鳥打掉的同時，這隻鳥還能打到哪些豬（0表示打不到，1表示能打到，用二進位表示出來，包括i,j兩豬）。
枚舉0~1<<(n-1)的所有狀態，先找出第一隻沒有被打掉的豬k（早打晚打都要打），然後枚舉k以後的豬，相當於枚舉包含豬k的拋物線，用前面的狀態更新後面的狀態，用到或運算。

核心代碼如下dp[0]=0;fo(i,0,(1<<n)-2) //枚舉狀態{    k=0;    while((1<<k)&i) k++;k++; //第k頭豬是第一個沒有被幹掉的豬    dp[i|(1<<(k-1))]=min(dp[i|(1<<(k-1))],dp[i]+1);    fo(j,k+1,n)       dp[i|f[k][j]]=min(dp[i|f[k][j]],dp[i]+1);}dp[(1<<n)-1]即為答案

【代碼】

//NOIP 2016 憤怒的小鳥(狀壓dp)#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#define ll long long#define M(a) memset(a,0,sizeof a)#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)using namespace std;const double eps=1e-10;int T,n,m;double x[20],y[20];int f[20][20],dp[1<<19];  //f[i][j]表示i,j兩豬被打下的小鳥還能打下哪只豬 inline void calc(){    int i,j,k;    fo(i,1,n)      fo(j,i+1,n)      {          double x11=x[i],y11=y[i],x22=x[j],y22=y[j];          double a=(x11*y22-x22*y11)/(x11*x22*(x22-x11));          double b=(x11*x11*y22-x22*x22*y11)/(x11*x22*(x11-x22));          if(a>=0) continue;          fo(k,1,n)          {              double tmp=a*x[k]*x[k]+b*x[k];              if(y[k]-eps<=tmp && tmp<=y[k]+eps)                 f[i][j]|=(1<<(k-1));          }      }}inline int dynamic(){    int i,j,k;    dp[0]=0;    fo(i,0,(1<<n)-2)    {        k=0;        while((1<<k)&i) k++;k++; //第k頭豬是第一個沒有被幹掉的豬        dp[i|(1<<(k-1))]=min(dp[i|(1<<(k-1))],dp[i]+1);        fo(j,k+1,n)           dp[i|f[k][j]]=min(dp[i|f[k][j]],dp[i]+1);    }    return dp[(1<<n)-1];}int main(){    int i,j;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {            M(f);        memset(dp,0x3f,sizeof dp);        scanf("%d%d",&n,&m);        fo(i,1,n) scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);        calc();        printf("%d\n",dynamic());    }    return 0;}/*15 02.72 2.722.72 3.143.14 2.723.14 3.145.00 5.00*/