不相交集合ADT

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不相交集合資料結構保持一組不相交的動態集合S={S1，S2，...,SK},每個集合通過一個代表來識別，代表即集合中的某個成員。

如果x表示一個對象，不相交集合支援以下操作：

MAKE-SET(x):建立一個新的集合，其唯一成員為x。因為各集合是不想交的，故x沒有在其它集合中出現。

UNION(x,y):將包含x和包含y的集合合并為一個新的集合。

FIND-SET(x):返回包含x的集合。

1.不相交集合的數組表示

在一個數組中儲存每個元素所在集合的名稱。這樣Find操作就是簡單的O(1)尋找。要執行Union(x,y)操作，假設x在等價類別i中，y在等價類別j中，

掃描整個數組，將所有的i變為j。連續N-1次Union操作就要花費Θ(N2)的時間。如果Union操作很多，這個界是不可接受的。

2.不相交集合的鏈表表示

每一個集合用用一個鏈表來表示。鏈表的第一個對象作為它所在集合的代表。鏈表中每個對象都包含一個集合成員，一個指向下一個對象的指標，

以及指向代表的指標。每個鏈表含head和tail指標，head指向鏈表的代表，tail指向鏈表中最後的對象。

 

Union的簡單實現：將x所在的鏈表拼接到y所在鏈表的表尾。對於原先x所在鏈表中的每一個對象都要更新其指向代表的指標。

平均看來，每個操作需要Θ(N)的時間。

加權合并：每個表含表的長度，總是將更短的表串連到長的表的後面。這樣，m和MAKE-SET,UNION和FIND-SET操作要花費(m+nlgn)的時間。 

class SetNode(object):    def __init__(self,key):        self.key=key        self.next=None        self.rep=Noneclass SetEntry(object):    def __init__(self):        self.head=None        self.tail=None        self.len=0class DisjSet(object):    def __init__(self,node):        self.setlist=[]    def make_set(self,node):        S=SetEntry()        S.head=node        S.tail=node        S.len=1        node.rep=node        self.setlist.append(S)    def find(self,node):        return node.rep    def union(self,node_x,node_y):        rep_x=node_x.rep        rep_y=node_y.rep        if rep_x!=rep_y:            for s in self.setlist:                if s.head==rep_x:                    set_x=s                elif s.head==rep_y:                    set_y=s            if set_x.len>=set_y.len:                set_x.tail.next=rep_y                node=rep_y                while node is not None:                    node.rep=rep_x                    node=node.next                set_x.tail=set_y.tail                set_x.len=set_x.len+set_y.len                self.setlist.remove(set_y)                return rep_x            else:                set_y.tail.next=rep_x                node=rep_x                while node is not None:                    node.rep=rep_y                    node=node.next                set_y.tail=set_x.tail                set_y.len+=set_x.len                self.setlist.remove(set_x)                return rep_y

　3.不相交集合森林

使用樹來表示一個集合，樹的根用來作為集合的代表。樹的每個節點都含有元素的資料以及一個指向父節點的指標。根節點的指標為空白。

可以用數組來非顯式的來表示樹：數組的每個成員T[i]表示元素i的父節點，如果i是根，取p[i]為0或者-1。

如果任意執行Union操作，樹可能會變為退化樹，有幾種方法可以避免這種情況

3.1 靈巧求並演算法

總是讓更小的樹成為較大的樹的子樹，稱為按大小求並。另一種方法是按高度求並。

這樣的話，任何節點的深度都不會超過logN，Find操作的已耗用時間是O(logN),而連續M次操作則花費O(MlogN)。

實現時，讓數組每個元素包含它的樹的大小的負值。

class DisjSet(object):    def __init__(self,size):        self.list=[-1]*size    def find(self,x):        if self.list[x]<0:            return x        else:            return self.find(self.list[x])    def union(self,x,y):        set_x=self.find(x)        set_y=self.find(y)        if set_x!=set_y:            if self.list[set_x]>self.list[set_y]:                self.list[set_y]+=self.list[set_x]                self.list[set_x]=set_y                return set_y            else:                self.list[set_x]+=self.list[set_y]                self.list[set_y]=set_x                return set_x

3.2 路徑壓縮

路徑壓縮在一次Find(X)操作期間執行，從X到根的路徑上的每一個節點都使它的父節點變成根。

路徑壓縮與按大小求並是完全相容的，而不完全與按高度求併兼容。路徑壓縮時每棵樹的高度會發生變化，可以對每棵樹所儲存的高度估計，用秩rank表示。

class DisjSet_with_rank(object):    def __init__(self,size):        self.list=[-1]*size    def find(self,x):        if self.list[x]<0:            return x        else:            self.list[x]=self.find(self.list[x])            return self.list[x]    def union(self,x,y):        set_x=self.find(x)        set_y=self.find(y)        if set_x!=set_y:            if self.list[set_x]<self.list[set_y]:                self.list[set_y]=set_x            else:                if self.list[set_x]==self.list[set_y]:                    self.list[set_y]-=1                self.list[set_x]=set_y

路徑壓縮的顯式表示　　

class SetNode(object):    def __init__(self,key):        self.parent=None        self.key=key        self.rank=1def find(node):    if node.parent is None:        return node    else:        node.parent=find(node.parent)        return node.parentdef union(x,y):    x=find(x)    y=find(y)    if x!=y:        if x.rank<=y.rank:            if x.rank==y.rank:                y.rank+=1            x.parent=y            return y        else:            y.parent=x            return x