範數和向量範數

向量範數

定義1. 設 ,滿足

1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0

2. 齊次性:║cx║=│c│║x║,

3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║

則稱Cn中定義了向量範數,║x║為向量x的範數.

可見向量範數是向量的一種具有特殊性質的實值函數.

常用向量範數有,令x=( x1,x2,…,xn)T

1-範數:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│

2-範數:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2

∞-範數:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)

易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞

定理1.Cn中任意兩種向量範數║x║α,║x║β是等價的,即有m,M>0使

m║x║α≤║x║β≤M║x║

可根據範數的連續性來證明它.由定理1可得

定理2.設{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,則

║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→
∞)

其中xj(k)是x(k)的第j個分量,xj是x的第j個分量.此時稱{x(k)}收斂於x,記作x(k)
→x(k→∞),或 .

三、 矩陣範數

定義2. 設 ,滿足

1. 正定性:║X║≥0,║X║=0 iff X=0

2. 齊次性:║cX║=│c│║X║,

3. 三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║

4. 相容性: ║XY║≤║X║║Y║

則稱Cn×n中定義了矩陣範數,║X║為矩陣X的範數.

注意, 矩陣X可視為n2維向量,故有前三條性質.因此定理1,2中向量的等價性和向量
序列收斂的概念與性質等也適合於矩陣.第四條,是考慮到矩陣乘法關係而設.更有矩
陣向量乘使我們定義矩陣範數向量範數的相容性:

║Ax║≤║A║║x║

所謂由向量範數誘匯出的矩陣範數與該向量範數就是相容的.

定理3. 設A是n×n矩陣,║?║是n維向量範數則

║A║=max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0}

是一種矩陣範數,稱為由該向量範數誘匯出的矩陣範數或運算元範數,它們具有相容性
或者說是相容的.

單位矩陣的運算元範數為1

可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數.例如定義:

║x║=║X║,X=(xx…x)

常用的三種向量範數誘匯出的矩陣範數是

1-範數:║A║1= max{║Ax║1:║x║1=1}=

2-範數:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}= ,λ1是AHA的
最大特徵值.

∞-範數:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=

此外還有Frobenius範數: .它與向量2-範數相容.但非向量範數誘匯出的矩陣範數.

四、 矩陣譜半徑

定義3.設A是n×n矩陣,λi是其特徵值,i=1,2,…,n.稱

為A的譜半徑.

譜半徑是矩陣的函數,但非矩陣範數.對任一矩陣範數有如下關係:

ρ(A)≤║A║

因為任一特徵對λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.兩邊取範數,由矩陣範數的
相容性和齊次性就匯出結果.

定理3.矩陣序列I,A,A2,…Ak,…收斂於零的充分必要條件是ρ(A) 

 

http://sxyd.sdut.edu.cn/shuzhifenxi/2.5/szfx025.htm