常態分佈函數

1）使用MatLab畫出常態分佈的機率密度函數映像。
x=[-10:0.01:10];
y=normpdf(x,0,1);%常態分佈函數。
figure;
axes1=axes('Pos',[0.1 0.1 0.85 0.85]);
plot(x,y);
set(axes1,'YLim',[-0.01 0.43],'XLim',[-3 3]);
圖1：

2）驗證機率密度函數在區間(-∞,∞)上的積分為1。
這裡取參數mu=3，sigma=5（註：下文全用這兩個參數）。
y='exp(-1/2*((x-3)/5)^2)/(sqrt(2*pi)*5)';
s=int(y,-inf,inf) %int積分函數（inf代表無窮大）。
輸出：s=1

3）驗證x=mu時取最大值。
思路：求解函數一階導數為零的點。

* 求一階導數
y='exp(-1/2*((x-3)/5)^2)/(sqrt(2*pi)*5)';
d=diff(y);%微分函數。
sd=simplify(d)
輸出結果：sd = -1/250*(x-3)*exp(-1/50*(x-3)^2)*2^(1/2)/pi^(1/2)

* 通過映像判斷解的位置
x=[0:0.001:40];
sd=-1/250.*(x-3).*exp(-1/50.*(x-3).^2).*2.^(1/2)./pi.^(1/2);
axes1=axes('Pos',[0.1 0.1 0.85 0.85]);
plot(x,sd);
set(axes1,'YLim',[-0.01 0.01],'XLim',[0 40]);
圖2：

可以看出在3附近有解。

* 定義函數並求解
function y=f(x)
y=-1/250.*(x-3).*exp(-1/50.*(x-3).^2).*2.^(1/2)./pi.^(1/2);

r=fzero('f',3)
輸出：r=3

從圖上看在x > 20以後，幾乎是一條直線，若用20：
r=fzero('f',20)
輸出：r=3

這說明是無限趨近於0。

* 進一步說明該點為最大值點
該機率密度函數一階導數為0的解為3，此值正好為mu，再取x=1，x=4與x=3時的函數值比較。
>> normpdf(1,3,5)
ans = 0.0737

>> normpdf(4,3,5)
ans = 0.0782

>> normpdf(3,3,5)
ans = 0.0798

顯然在x=3的兩邊函數值都比x=3小，說明該點為極大值點。根據常態分佈函數的映像特點可知該點是最大值點。

4）驗證x=mu +- sigma （即8或-2）處曲線有拐點。
思路：求二階導數為零的點。

* 先求二階微分
y='exp(-1/2*((x-3)/5)^2)/(sqrt(2*pi)*5)';
d=diff(y,2);%微分函數。
sd=simplify(d)
輸出：sd = 1/6250*exp(-1/50*(x-3)^2)*2^(1/2)*(-16+x^2-6*x)/pi^(1/2)

* 通過映像判斷解的位置
x=[-20:0.001:20];
sd=1./6250.*exp(-1/50.*(x-3).^2).*2.^(1/2).*(-16+x.^2-6.*x)/pi.^(1/2);
axes1=axes('Pos',[0.1 0.1 0.85 0.85]);
plot(x,sd);
set(axes1,'YLim',[-0.005 0.005],'XLim',[-20 20]);
圖3：
從可以看出，曲線在(-5,0)和(5,10)之間分別都與y=0有交點，因此有兩個解。

* 定義函數並求解
function y=f(x)
y=1./6250.*exp(-1/50.*(x-3).^2).*2.^(1/2).*(-16+x.^2-6.*x)/pi.^(1/2);

r=fzero('f',-5)
r = -2

>> r=fzero('f',5)
r = 8.0000

從而得到了兩個拐點x=8和x=-2，也即mu +- sigma。

5）驗證曲線以x軸為漸近線漸近線求解：
A 垂直漸近線  x=a是y=f(x)的漸近線<==>lim f(x)=∞或lim f(x)=∞
                         x->a+0       x->a-0
  其中a在間斷點中找——∞型第二類間斷點B 水平漸近線
  x→+∞（-∞）時，y=b是y=f(x)的漸近線<==>lim f(x)=b （或lim f(x)=b)
                                          x->+∞         x->-∞

求其一階倒數在x趨向於無窮大時的極限值b，若存在，即有水平漸近線y=b。
* 先定義函數：
function y=f(x)
syms x; %定義符號變數。
y=exp(-1/2*((x-3)/5)^2)/(sqrt(2*pi)*5);

* 求x趨向無窮大時一階導數的極限
limit(f,inf)
ans = 0

6）驗證 3 sigma 法則
思路：求解機率密度函數在[mu-3*sigma,mu+3*sigma]區間上的積分。
y='exp(-1/2*((x-3)/5)^2)/(sqrt(2*pi)*5)';
double(int(y,-12,18))
ans = 0.9973