NP完全問題

NP完全問題是不確定性圖靈機在P時間內能解決的問題，是世界七大數學難題之一。

　　NP完全問題排在百萬美元大獎的首位，足見他的顯赫地位和無窮魅力。

　　數學上著名的NP問題，完整的叫法是NP完全問題，也即“NP COMPLETE”問題，簡單的寫法，是 NP=P？的問題。問題就在這個問號上，到底是NP等於P，還是NP不等於P。證明其中之一，便可以拿百萬美元大獎。

　　這個獎還沒有人拿到，也就是說，NP問題到底是Polynomial（意思是多項式的），還是Non-Polynomial，尚無定論。

　　NP裡面的N，不是Non-Polynomial的N，是Non-Deterministic（意思是非確定性），P代表Polynomial倒是對的。NP就是Non-deterministic Polynomial的問題，也即是多項式複雜程度的非確定性問題。

　　什麼是非確定性問題呢？有些計算問題是確定性，比如加減乘除之類，你只要按照公式推導，按部就班一步步來，就可以得到結果。但是，有些問題是無法按部就班直接地計算出來。比如，找大質數的問題。有沒有一個公式，你一套公式，就可以一步步推算出來，下一個質數應該是多少呢？這樣的公式是沒有的。再比如，大的合數分解質因數的問題，有沒有一個公式，把合數代進去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也沒有這樣的公式。

　　這種問題的答案，是無法直接計算得到的，只能通過間接的“猜算”來得到結果。這也就是非確定性問題。而這些問題的通常有個演算法，它不能直接告訴你答案是什麼，但可以告訴你，某個可能的結果是正確的答案還是錯誤的。這個可以告訴你“猜算”的答案正確與否的演算法，假如可以在多項式時間內算出來，就叫做多項式非確定性問題。而如果這個問題的所有可能答案，都是可以在多項式時間內進行正確與否的驗算的話，就叫完全多項式非確定問題。

　　完全多項式非確定性問題可以用窮舉法得到答案，一個個檢驗下去，最終便能得到結果。但是這樣演算法的複雜程度，是指數關係，因此計算的時間隨問題的複雜程度成指數的增長，很快便變得不可計算了。

　　人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們於是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性演算法，可以在指數時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。

　　解決這個猜想，無非兩種可能，一種是找到一個這樣的演算法，只要針對某個特定NP完全問題找到一個演算法，所有這類問題都可以迎刃而解了，因為他們可以轉化為同一個問題。另外的一種可能，就是這樣的演算法是不存在的。那麼就要從數學理論上證明它為什麼不存在。

　　前段時間轟動世界的一個數學成果，是幾個印度人提出了一個新演算法，可以在多項式時間內，證明某個數是或者不是質數，而在這之前，人們認為質數的證明，是個非多項式問題。可見，有些看來好象是非多項式的問題，其實是多項式問題，只是人們一時還不知道它的多項式解而已。

　　如果判定問題π∈NP，並且對所有其他判定問題 π∈NP，都有π'多項式變換到π(記為π'∞π)，則稱判定問題π 是NP完全的。

　　對P類，NP類及NP完全問題的研究推動 了計算複雜性理論的發展，產生了許多新概念，提出了許多新方法。但是還有許多難題至今沒有解決，P=NP?就是其中之一。許多學者猜想P≠NP，但無法證明。