數論 + 容斥定理

1435.互質

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Description

歐拉函數在數論中有著重要的地位, 一個數的歐拉函數的值, 代表著與這個數互質且不大於這個數的正整數的個數, 例如6的歐拉函數的值為2, 因為比6小且與6互質的數只有1和5。當然, 這道題目的要求並不是需要你求某個數的歐拉函數的值, 而是給定你正整數A、L、R, 你需要求出在區間[L, R]的範圍內有多少個數與A互質。

Input

輸入只有一行, 分別為3個正整數A、L、R。(1 <= L <= R <= 1,000,000,000 , 2 <= A <= 1,000,000,000)

Output

輸出在區間[L, R]範圍內有多少個數與數字A互質。

Sample Input

6 1 6

Sample Output

2

Source

doraemon @ xmu

/*類型：歐拉函數 ~ 容斥原理依稀記得袁神教我的容斥原理，但是我忘了方法，今天按照自己的理解還是寫了出來，沒什麼的，挺簡單的，重點是奇偶判斷 。。。 */#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cmath>#define manx 1025using namespace std;int f[manx],p[20],num,ans;int gcd(int a,int b){    if(b==0) return a;    return gcd(b,a%b);}void fan(int n){////求素數因子     for(int i=2;i*i<=n;i++){        if(n%i==0) p[++num]=i;        while(n%i==0) n/=i;    }    if(n>1) p[++num]=n;}void dfs(int st,int ed,int val,int k){////容斥定理     if(k%2) f[ans++]=val;//////奇偶判斷     else f[ans++]=-val;    if(st>ed) return;     for(int i=st;i<=ed;i++)////組合得到因子         dfs(i+1,ed,p[i]*val,k+1); ///注意其方法 }int main(){    long long a,l,r;    while(cin>>a>>l>>r){        if(l==r){///特殊情況             if(gcd(a,l)==1)printf("1\n");            else printf("0\n");            continue;        }        num = 0; ans=0;        memset(f,0,sizeof(f));        fan(a);        for(int i=1;i<=num;i++)            dfs(i+1,num,p[i],1);        long long sum=0,tall=0; ///sum表示歐拉互質數，tall表示要求的總互質數         for(int i=0;i<ans;i++) sum+=a/f[i];////容斥定理，組合求出某個因子的         sum = a - sum;        if(r-l>a) tall += (r-l)/a*sum; ///周期相減         r %= a; l %= a;        if(r==0) r=a; ///整倍臨界點         long long sum1=0,sum2=0;///sum1表示 1~l，sum2表示1~r         for(int i=0;i<ans;i++){            sum1+=l/f[i];            sum2+=r/f[i];        }        sum1 = l-sum1;        sum2 = r-sum2;        tall += sum2-sum1;        if(r<=l) tall+=sum;///取補集         if(l%a && gcd(l,a)==1) tall++; ///閉區間         cout<<tall<<endl;    }}