數值分析-插值法

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我們能得到一個函數f在區間[a,b]上某些點的值或者這些點上的高階導數

我們就能通過插值法去得到一個函數g，g與f是非常相近的

一般來說g分為三類，一類是n次多項式 an*xn + an-1*xn-1 + .......+a0，一類是三角多項式，最後一類是分段n次多項式

 

多項式插值

這個可以說是最簡單的插值了

 對於an*xn + an-1*xn-1 + .......+a0，我們有n+1個未知數，我只需要知道n+1個點的函數值就可以解出這n+1個未知數

將解出的值帶入即可

 

優點:簡單粗暴

缺點:要解n+1個方程，時間複雜度較高，n不好確定，若n過大，容易過擬合，若n過小，容易欠擬合

 

拉格朗日插值

先說一階多項式

我們有兩點式

f(x) = yk*(xk+1 - x) / (xk-xk+1) + yk+1*(x-xk) / (xk+1 - xk) 

此兩點式可以看做? * yk + (1-?) * yk+1

那麼自然的在x=xk的時候 ?=0  在x=xk+1的時候?=1

這裡的?其實是與x相關的一階多項式

再說二階多項式

對於一個二次函數，我們有三個點(xk-1,yk-1) ,(xk,yk) ,(xk+1,yk+1)

我們有lk-1,lk,lk+1

f(x) = lk-1*yk-1 + lk*yk  +  lk+1*yk+1

其中l是與x相關的二次多項式

我們可以把l當作基函數

這樣的話就有

x = xk-1 時lk-1 = 1, lk=0, lk+1 = 0

x = xk時   lk-1 = 0, lk=1, lk+1 = 0

x = xk+1時lk-1 = 0, lk=0, lk+1 = 1

那麼這個插值基函數是很好求的

因為每個插值函數都有兩個零點

對於lk-1來說有零點xk,xk+1

那麼lk-1就可以表示為lk-1 = A*(x-xk)*(x-xk+1)

因為x=xk-1時lk-1 = 1

所以A = 1 / (（xk-1 - xk）* (xk-1 - xk+1) )

那麼同理lk和lk+1也能求出來了

那我們得到二階的拉格朗日插值多項式

 

現在將二階推廣到n階

得到n接的拉格朗日插值多項式

 

優點:演算法較為簡單

缺點:暫不清楚

數值分析-插值法