nyoj 104 最大和 （二維最大字串和）

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描述

給定一個由整數組成二維矩陣（r*c），現在需要找出它的一個子矩陣，使得這個子矩陣內的所有元素之和最大，並把這個子矩陣稱為最大子矩陣。 例子：0 -2 -7 0 9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2 其最大子矩陣為：9 2 -4 1 -1 8 其元素總和為15。 

 

 

輸入

第一行輸入一個整數n（0<n<=100）,表示有n組測試資料；每組測試資料：第一行有兩個的整數r，c（0<r,c<=100），r、c分別代表矩陣的行和列；隨後有r行，每行有c個整數；

 

輸出

輸出矩陣的最大子矩陣的元素之和。

 

範例輸入

14 40 -2 -7 0 9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2 

 

範例輸出

15

 

這個問題就是最大值子區間和的二維問題。

最大子區間和是說給你一個數組，然後讓你找一個連續的子區間，讓這個區間的數的和最大。很經典的簡單DP。題目可以參考這個連結：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=44。

一維問題的解決思路是，max_sum表示從第一數到目前的最大和，sum是某段區間的和，如果sum<0，那麼sum沒有利用價值了，把sum=0，否則就繼續往上加。

max_sum=max((sum+=a[i])<0?0:sum,max_sum);

二維的問題，其實可以轉化為一位的問題。

首先我們要注意到二維子矩陣在選取的時候是個矩陣，聯絡一個我們經常會用到的技巧：但我們需要頻繁計算一個資料任意一個區間

的和的時候，我們會預先把這個數組使用啊a[i]=a[i]+a[i-1]的方式把它記錄的值變為數組到這個位置的和，這樣的好處就是任意一個區間[i,j]的和就可轉化為了a[i]-a[j-1]。

在這裡我們依然採用這樣的技巧。我們把這個矩陣記錄的值對於每個列向量都做上述改變。

然後我們就發現，但我們選取任意的連續行進行組合的時候，這個行區間對於的列的值的和都可以用上述方法快速獲得，那麼對於每個列的和又會變為一個求一維連續區間最大和問題了。到此這個問題就可以以O(n^2)的複雜度解決了。

 

AC代碼：

 1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 using namespace std; 5 #define N 106 6 #define inf 1<<26 7 int n,m; 8 int mp[N][N]; 9 int main()10 {11     int t;12     scanf("%d",&t);13     while(t--){14         memset(mp,0,sizeof(mp));15         scanf("%d%d",&n,&m);16         for(int i=1;i<=n;i++){17            for(int j=1;j<=m;j++){18                scanf("%d",&mp[i][j]);19                mp[i][j]+=mp[i-1][j];20            }21         }22 23         int MAX = -inf;24         for(int i=1;i<=n;i++){25            for(int j=i;j<=n;j++){26               int tmp = 0;27               for(int k=1;k<=m;k++){28                   int cnt = mp[j][k]-mp[i-1][k];29                   tmp+=cnt;30                   if(tmp>MAX) MAX = tmp;31                   if(tmp<0) tmp=0;32               }33            }34         }35         printf("%d\n",MAX);36 37     }38     return 0;39 }

 

nyoj 104 最大和 （二維最大字串和）