O(n)迴文子串（Manacher）演算法

資料來源網路 參見：http://www.felix021.com/blog/read.php?2040

問題描述：

輸入一個字串，求出其中最大的迴文子串。子串的含義是：在原串中連續出現的字串片段。迴文的含義是：正著看和倒著看相同，如abba和yyxyy。

 

解析：

這裡介紹O(n)迴文子串（Manacher）演算法

演算法基本要點：首先用一個非常巧妙的方式，將所有可能的奇數/偶數長度的迴文子串都轉換成了奇數長度：在每個字元的兩邊都插入一個特殊的符號。比如 abba 變成 #a#b#b#a#， aba變成 #a#b#a#。 為了進一步減少編碼的複雜度，可以在字串的開始加入另一個特殊字元，這樣就不用特殊處理越界問題，比如$#a#b#a#。

下面以字串12212321為例，經過上一步，變成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";

然後用一個數組 P[i] 來記錄以字元S[i]為中心的最長迴文子串向左/右擴張的長度（包括S[i]），比如S和P的對應關係：

S     #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  #
P     1   2  1  2  5   2  1  4   1  2  1  6   1  2   1  2  1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字串中迴文串的總長度）

下面計算P[i]，該演算法增加兩個輔助變數id和mx，其中id表示最大迴文子串中心的位置，mx則為id+P[id]，也就是最大迴文子串的邊界。

這個演算法的關鍵點就在這裡了：如果mx > i，那麼P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。

具體代碼如下：

if(mx > i){      p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i));}else{       p[i] = 1;}

當 mx - i > P[j] 的時候，以S[j]為中心的迴文子串包含在以S[id]為中心的迴文子串中，由於 i 和 j 對稱，以S[i]為中心的迴文子串必然包含在以S[id]為中心的迴文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，見。

當 P[j] > mx - i 的時候，以S[j]為中心的迴文子串不完全包含於以S[id]為中心的迴文子串中，但是基於對稱性可知，中兩個綠框所包圍的部分是相同的，也就是說以S[i]為中心的迴文子串，其向右至少會擴張到mx的位置，也就是說 P[i] >= mx - i。至於mx之後的部分是否對稱，就只能一個一個匹配了。

對於 mx <= i 的情況，無法對 P[i]做更多的假設，只能P[i] = 1，然後再去匹配了

下面給出原文，進一步解釋演算法為線性原因

 

原始碼：

#include <iostream>#include <string>#include <cstring>using namespace std;void findBMstr(string str){    int *p = new int[str.size() + 1];    memset(p, 0, sizeof(p));    int mx = 0, id = 0;    for(int i = 1; i <=  str.size(); i++)    {        if(mx > i)        {            p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i));        }        else        {            p[i] = 1;        }        while(str[i - p[i]] == str[i + p[i]])            p[i]++;        if(i + p[i] > mx)        {            mx = i + p[i];            id = i;        }    }    int max = 0, ii;    for(int i = 1; i < str.size(); i++)    {        if(p[i] > max)        {            ii = i;            max = p[i];        }    }    max--;    int start = ii - max ;    int end = ii + max;    for(int i = start; i <= end; i++)    {        if(str[i] != '#')        {            cout << str[i];        }    }    cout << endl;    delete  p;}int main(){    string str = "12212321";    string str0;    str0 += "$#";    for(int i = 0; i < str.size(); i++)    {        str0 += str[i];        str0 += "#";    }    cout << str0 << endl;    findBMstr(str0);    return 0;}

執行結果：