求兩個字串的最長公用子串，最長公用子序列，編輯距離

(1)    找出兩個字串的最長公用子串

題目：輸入兩個字串，找出兩個字串中最長的公用子串。

找兩個字串的最長公用子串，這個子串要求在原字串中是連續的。因此我們採用一個二維矩陣來儲存中間結果，下面我們看這個二維數組如何構造？

假設兩個字串分別是：”bab”和”caba”。

如果str[i] == str[j] 則matrix[i][j] = 1，否則matrix[i][j] = 0

然後我們從矩陣中找出斜對角線最長的那個子字串，就是最長公用子串。

即”ab”和”ba”分別為2。

我們可以簡化一下，在當我們計算matrix[i][j]時，我們判斷str[i] == str[j] 和matrix[i-1][j-1]。

如果str[i] == str[j]，則matrix[i][j] = matrix[i-1][j-1] + 1；否則matrix[i][j] = 0。

如所示：

所以此時，我們只是將matrix[M][N]中，找到最大的值，即為最長公用子串。

然後我們還可以簡化一下空間複雜度。

因為我們每判斷一個matrix[i][j]時，實際上它只與matrix[i-1][j-1]相關。故所以我們可以使用一維數組來儲存上一次的結果。

實現代碼如下：

#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;int GetLongestCommonSubString(const char *pStr1, const char *pStr2){/* 判斷參數合法性 */if (pStr1 == NULL || pStr2 == NULL){return -1;}int n = strlen(pStr1);int m = strlen(pStr2);int longestCommonSubString = 0;/* 申請輔助空間，並初始化為0 */int *LCS = new int[m];for (int i = 0; i < m; i++){LCS[i] = 0;}/* 不斷判斷pStr[i] ?= pStr[j]，然後根據不同情況來更新LCS */for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = m - 1; j >= 0; j--){if (pStr1[i] == pStr2[j])/* 如果pStr1[i] == pStr2[j]，LCS[j] = LCS[j-1] + 1 */{if (j == 0){LCS[j] = 1;}else{LCS[j] = LCS[j-1] + 1;}}else/* 如果pStr1[i] != pStr2[j]，LCS[j] = 0 */{LCS[j] = 0;}/* 更新最長子串的長度 */if (LCS[j] > longestCommonSubString){longestCommonSubString = LCS[j];}}}delete LCS;LCS = NULL;return longestCommonSubString;}void Test(const char *testName, const char *pStr1, const char *pStr2, int expectedLongestCommonSubString){cout << testName << " : ";if (GetLongestCommonSubString(pStr1, pStr2) == expectedLongestCommonSubString){cout << "Passed." << endl;}else{cout << "Failed." << endl;}}int main(){Test("Test1", "caba", "bab", 2);Test("Test2", "abcd", "efg", 0);Test("Test3", "abcde", "abcde", 5);}

(2)    找出兩個字串的最長公用子序列

題目：輸入兩個字串，求兩個字串的最長公用子序列。

首先，最長公用子序列與最長公用子串不同，子序列不要求其在原字串是連續的。例如字串X={A,B,C,B,D,A,B}，Y = {B,D,C,A,B,A}，則X與Y的最長公用子序列為Z={B,C,B,A}。

我們假設X={x1, x2, x3, …, xm}，則X的首碼，Xi = {x1, x2, … ,xi}。即X={A,B,C,B,D,A,B}，X4={A,B,C,B}。

Y = {y1, y2, y3, … ,yn}，則Z={z1, z2, …,zk} 是X和Y的最長公用子序列。

如果xm == yn, 則zk = xm =yn 並且 Zk-1 是Xm-1 和 Yn-1的最長公用子序列。

如果 xm != yn, 則zk != xm，並且Z是Xm-1和Yn的最長公用子序列。

如果 xm != yn, 則zk != yn，並且Z是xm 和Yn-1的最長公用子序列。

所以我們定義了C[i][j]二維數組，用來儲存Xi和Yj的最長公用子序列。

                            0                                  如果i==0或者j==0

即C[i][j] =           c[i-1][j-1] + 1               如果i,j > 0並且 xi == yj

                            Max(c[i][j-1],c[i-1][j])  如果i,j > 0 並且xi != yj

實現代碼如下：

#include <cstdio>#include <iostream>using namespace std;int max(int a, int b){return a > b ? a : b;}int GetLongestCommonSequence(const char *pStr1, const char *pStr2){/* 判斷參數的合法性 */if (pStr1 == NULL || pStr2 == NULL){return -1;}int m = strlen(pStr1);int n = strlen(pStr2);/* 申請二維空間LCS[m+1][n+1] */int **LCS = new int*[m+1];for (int i = 0; i < m + 1; i++){LCS[i] = new int[n+1];}/* 分別對LCS[i][0], LCS[0][j]賦值為0 */for (int i = 0; i < m+1; i++){LCS[i][0] = 0;}for (int j = 0; j < n+1; j++){LCS[0][j] = 0;}/* 分別遍曆兩個字串，並更新LCS[i][j] */for (int i = 1; i < m+1; i++){for (int j = 1; j < n+1; j++){if (pStr1[i-1] == pStr2[j-1]){LCS[i][j] = LCS[i-1][j-1] + 1;}else{LCS[i][j] = max(LCS[i-1][j], LCS[i][j-1]);}}}/* 擷取最長公用子序列 */int longestCommonSequence = LCS[m][n];/* 刪除動態空間 */for (int i = 0; i < m + 1; i++){delete [] LCS[i];LCS[i] = NULL;}delete []LCS;LCS = NULL;/* 返回最長公用子序列 */return longestCommonSequence;}void Test(const char *testName, const char *pStr1, const char *pStr2, int expectedLongestCommonSequence){cout << testName << " : ";if (GetLongestCommonSequence(pStr1, pStr2) == expectedLongestCommonSequence){cout << "Passed." << endl;}else{cout << "Failed." << endl;}}int main(){Test("Test1", "ABCBDAB", "BDCABA", 4);Test("Test2", "A", "A", 1);Test("Test3", "AB", "BC", 1);}

(3)    求兩個字串的編輯距離

問題：輸入兩個字串，求它們的最短編輯距離。

我們定義了一套操作方法來把兩個不同的字串變得相同，具體的操作方法是：

1.      修改一個字元（如把“a”替換為“b”）

2.      增加一個字元（如把“abdd”變成“aebdd”）

3.      刪除一個字元（如把“travelling”變成“traveling”）

我們每執行上述一個步驟，則它們之間的編輯距離加1.

 我們同樣定義一個二維數組，C[i][j]表示字串Xi和字串Yi的最短編輯距離。

C[i][j] = min{C[i-1][j] + 1, C [i][j-1] + 1,C [i-1][j-1]+ 1(xi != yj), C[i-1][j-1](xi = yj)}。

實現代碼如下：

#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;int min(int a, int b, int c){int min = a;if (min > b){min = b;}if (min > c){min = c;}return min;}int GetLeastestEditDistance(const char *pStr1, const char *pStr2){if (pStr1 == NULL || pStr2 == NULL){return -1;}int m = strlen(pStr1);int n = strlen(pStr2);/* 申請動態空間LED[m+1][n+1] */int **LED = new int *[m+1];for (int i = 0; i < m+1; i++){LED[i] = new int[n+1];}/* 賦值LED[i][0] = i， LED[0][j] = j */for (int i = 0; i < m+1; i++){LED[i][0] = i;}for (int j = 0; j < n+1; j++){LED[0][j] = j;}/* 計算LED[i][j] */for (int i = 1; i < m+1; i++){for (int j = 1; j < n+1; j++){if (pStr1[i-1] == pStr2[j-1]){LED[i][j] = min(LED[i-1][j-1], LED[i-1][j] + 1, LED[i][j-1] + 1);}else{LED[i][j] = min(LED[i-1][j-1]+1, LED[i-1][j] + 1, LED[i][j-1] + 1);}}}/* 獲得最小的編輯距離 */int leastestEditDistance = LED[m][n];/* 釋放動態空間 */for (int i = 0; i < m+1; i++){delete [] LED[i];LED[i] = NULL;}delete []LED;LED = NULL;/* 返回最小編輯距離 */return leastestEditDistance;}void Test(const char *testName, const char *pStr1, const char *pStr2, int expectedLeastestEditDistance){cout << testName << " : ";if (GetLeastestEditDistance(pStr1, pStr2) == expectedLeastestEditDistance){cout << "Passed." << endl;}else{cout << "Failed." << endl;}}int main(){Test("Test1", "a", "b", 1);Test("Test2", "abdd", "aebdd", 1);Test("Test3", "travelling", "traveling", 1);Test("Test4", "abcd", "abcd", 0);Test("Test5", NULL, NULL, -1);}