一元線性迴歸模型與最小二乘法及其C++實現

        監督學習中，如果預測的變數是離散的，我們稱其為分類（如決策樹，支援向量機等），如果預測的變數是連續的，我們稱其為迴歸。迴歸分析中，如果只包括一個自變數和一個因變數，且二者的關係可用一條直線近似表示，這種迴歸分析稱為一元線性迴歸分析。如果迴歸分析中包括兩個或兩個以上的自變數，且因變數和自變數之間是線性關係，則稱為多元線性迴歸分析。對於二維空間線性是一條直線；對於三維空間線性是一個平面，對於多維空間線性是一個超平面...這裡，談一談最簡單的一元線性迴歸模型。

1.一元線性迴歸模型

模型如下：

總體迴歸函數中Y與X的關係可是線性，也可是非線性。對線性迴歸模型的“線性”有兩種解釋：

      （1）就變數而言是線性，Y的條件均值是 X的線性函數

     （2）就參數而言是線性，Y的條件均值是參數的線性函數

線性迴歸模型主要指就參數而言是“線性”,因為只要對參數而言是線性,都可以用類似的方法估計其參數。

2.參數估計——最小二乘法

        對於一元線性迴歸模型, 假設從總體中擷取了n組觀察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。對於平面中的這n個點，可以使用無數條曲線來擬合。要求樣本迴歸函數儘可能好地擬合這組值。綜合起來看，這條直線處於樣本資料的中心位置最合理。 選擇最佳擬合曲線的標準可以確定為：使總的擬合誤差（即總殘差）達到最小。有以下三個標準可以選擇：

        （1）用“殘差和最小”確定直線位置是一個途徑。但很快發現計算“殘差和”存在相互抵消的問題。
        （2）用“殘差絕對值和最小”確定直線位置也是一個途徑。但絕對值的計算比較麻煩。
        （3）最小二乘法的原則是以“殘差平方和最小”確定直線位置。用最小二乘法除了計算比較方便外，得到的估計量還具有優良特性。這種方法對異常值非常敏感。

        最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary  Least Square，OLS）：所選擇的迴歸模型應該使所有觀察值的殘差平方和達到最小。（Q為殘差平方和）

樣本迴歸模型：

殘差平方和：

則通過Q最小確定這條直線，即確定，以為變數，把它們看作是Q的函數，就變成了一個求極值的問題，可以通過求導數得到。求Q對兩個待估參數的偏導數：

解得：

3.最小二乘法c++實現

#include<iostream>#include<fstream>#include<vector>using namespace std;class LeastSquare{double a, b;public:LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y){double t1=0, t2=0, t3=0, t4=0;for(int i=0; i<x.size(); ++i){t1 += x[i]*x[i];t2 += x[i];t3 += x[i]*y[i];t4 += y[i];}a = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2);//b = (t4 - a*t2) / x.size();b = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2);}double getY(const double x) const{return a*x + b;}void print() const{cout<<"y = "<<a<<"x + "<<b<<"\n";}};int main(int argc, char *argv[]){if(argc != 2){cout<<"Usage: DataFile.txt"<<endl;return -1;}else{vector<double> x;ifstream in(argv[1]);for(double d; in>>d; )x.push_back(d);int sz = x.size();vector<double> y(x.begin()+sz/2, x.end());x.resize(sz/2);LeastSquare ls(x, y);ls.print();cout<<"Input x:\n";double x0;while(cin>>x0){cout<<"y = "<<ls.getY(x0)<<endl;cout<<"Input x:\n";}}}

（新浪微博：@全亮_機器學習）