開源Math.NET基礎數學類庫使用(16)C#計算矩陣秩

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原文:【原創】開源Math.NET基礎數學類庫使用(16)C#計算矩陣秩

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　　上個月對Math.NET的基本使用進行了介紹，主要內容有矩陣，向量的相關操作，解析資料格式，數值積分，資料統計，相關函數，求解線性方程組以及隨機數發生器的相關內容。這個月接著深入發掘Math.NET的各種功能，並對原始碼進行分析，使得大家可以儘可能的使用Math.NET在.NET平台下輕易的開發數學計算相關的，或者可以將其中的源碼快速移植到自己的系統中去(有時候並不需要所有的功能，只需要其中的部分功能代碼)，今天要介紹的是Math.NET中利用C#計算矩陣秩的功能。

　　本文原文地址：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4304304.html

1.什麼是矩陣秩

　　矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個重要概念。線上性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性無關的縱列的極大數目。類似地，行秩是A的線性無關的橫行的極大數目。矩陣的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣A的秩。通常表示為r(A)，rk(A)或rank A。矩陣的行秩與列秩相等，是線性代數基本定理的重要組成部分. 其基本證明思路是，矩陣可以看作線性映射的變換矩陣，列秩為像空間的維度，行秩為非零原像空間的維度，因此列秩與行秩相等，即像空間的維度與非零原像空間的維度相等（這裡的非零原像空間是指約去了零空間後的商空間：原像空間）。這從矩陣的奇異值分解就可以看出來。矩陣秩的計算最容易的方式是高斯消去法，這裡引用維基百科的內容：

　　計算矩陣A的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩陣的初等變換產生一個行階梯型矩陣，由於矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，因此A的行梯陣形式有同A一樣的秩。經過初等變換的矩陣的非零行的數目就是原矩陣的秩。例如考慮4 × 4矩陣：

我們看到第2縱列是第1縱列的兩倍，而第4縱列等於第1和第3縱列的總和。第1和第3縱列是線性無關的，所以A的秩是2。這可以用高斯演算法驗證。它產生下列A的行梯陣形式:

　　它有兩個非零的橫行。在應用在電腦上的浮點數的時候，基本高斯消去（LU分解）可能是不穩定的，應當使用秩啟示（revealing）分解。一個有效替代者是奇異值分解（SVD），但還有更少代價的選擇，比如有支點（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在數值上更強壯。秩的數值判定要求對一個值比如來自SVD的一個奇異值是否為零的依據，實際選擇依賴於矩陣和應用二者。

http://zh.wikipedia.org/wiki/秩_(線性代數)

　　矩陣秩線上性代數中的應用還是很廣的，如計算線性方程組的解的數目等，下面就看一下Math.NET中對該過程的計算實現以及如何調用的例子。

2.Math.NET矩陣秩計算的實現

　　Math.NET在對矩陣秩的計算過程中，和行列式的實現方式非常相似，也是把其作為矩陣計算的一個小部分功能，作為屬性添加在各個矩陣分解演算法的抽象和實作類別中，看一下其中一個Svd分解演算法抽象，由於計算簡單，已經直接實現了秩的計算，繼承類可以直接使用，就夠了，其他的使用下面也和行列式類似。

 1 internal abstract class Svd : Svd<float> 2 { 3     protected Svd(Vector<float> s, Matrix<float> u, Matrix<float> vt, bool vectorsComputed) 4         : base(s, u, vt, vectorsComputed) { } 5  6     /// <summary>計算矩陣秩</summary> 7     /// <value>The number of non-negligible singular values.</value> 8     public override int Rank 9     {10         get11         {12             return S.Count(t => !Math.Abs(t).AlmostEqual(0.0f));13         }14     }15     public override double L2Norm16     {17         get{return Math.Abs(S[0]);}18     }19 20     public override float ConditionNumber21     {22         get23         {24             var tmp = Math.Min(U.RowCount, VT.ColumnCount) - 1;25             return Math.Abs(S[0]) / Math.Abs(S[tmp]);26         }27     }28     /// <summary>計算行列式 </summary>29     public override float Determinant30     {31         get32         {33             if (U.RowCount != VT.ColumnCount)34             {35                 throw new ArgumentException(Resources.ArgumentMatrixSquare);36             }37 38             var det = 1.0;39             foreach (var value in S)40             {41                 det *= value;42                 if (Math.Abs(value).AlmostEqual(0.0f))43                 {44                     return 0;45                 }46             }47             return Convert.ToSingle(Math.Abs(det));48         }49     }50 }

3.Math.NET計算矩陣秩的代碼

　　上述過程和原理只是便於大家理解其實現過程，下面簡單示範一下在Math.NET中計算矩陣秩的過程，就是直接調用計算即可。

 1 // 格式設定 2 var formatProvider = (CultureInfo)CultureInfo.InvariantCulture.Clone(); 3 formatProvider.TextInfo.ListSeparator = " "; 4  5 //建立一個隨機的矩陣 6 var matrix = new DenseMatrix(5); 7 var rnd = new Random(1);  8 for (var i = 0; i < matrix.RowCount; i++) 9 {10     for (var j = 0; j < matrix.ColumnCount; j++)11     {12         matrix[i, j] = rnd.NextDouble();13     }14 }15 16 Console.WriteLine(@"Initial matrix");17 Console.WriteLine(matrix.ToString("#0.00\t", formatProvider));18 Console.WriteLine();19 //1. 秩20 Console.WriteLine(@"矩陣秩計算結果為：");21 Console.WriteLine(matrix.Rank());22 Console.WriteLine();

結果如下：

 1 Initial matrix 2 DenseMatrix 5x5-Double 3 0.25      0.11    0.47    0.77    0.66 4 0.43      0.35    0.94    0.10    0.64 5 0.03      0.25    0.32    0.99    0.68 6 0.65      0.28    0.62    0.70    0.70 7 0.95      0.09    0.16    0.38    0.80 8  9 10 矩陣秩計算結果為：11 5

4.資源

　　包括原始碼以及案例都可以去官網下載，本系列文章的目錄中第一篇文章:http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4264638.html,有介紹。由於源碼很大，如果找不到相應的案例，可以進行搜尋，可以比較快的找到相應的代碼。

開源Math.NET基礎數學類庫使用(16)C#計算矩陣秩