原創 -128的二進位有原碼 反碼和補碼

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第一次修訂 2009-5-6  14：11

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   1.模的概念(我只講個例子，具體的可以查數學中的 "同餘模")
       在日常生活中,有許多化減為加的例子。例如,時鐘是逢12進位,12點也可看作0點。
        當將時針從10點調整到5點時有以下兩種方法:
         1.將時針逆時針方向撥5格,相當於做減法: 10－5＝5
         2.將時針順時針方向撥7格,相當於做加法:10＋(12-5)＝12＋5＝5    (模為 12)

   2.模的運用(採用模得到補碼)
       1.補碼的得來：是為了讓負數變成能夠加的正數，so，負數的補碼=模-負數的絕對值
                    比如：-1 補碼：1111 1111(10000 0000 -1得來)
                    當一個數要減1的時候，可以直接加 1111 1111
       2.原碼的得來：(負數的原碼，直接把對應正數的最高位改為1)
          原碼能夠直觀的表示一個負數(能直觀的把真值顯示出來，如 -1為1000 0001
                                        其中最高位表示符號位，不進行算術計算)
       3.總結：補碼相加，到第9位才捨棄（模10000 0000）
               原碼相加，到第8位捨棄（模1000 0000）
               反碼相加，到第8位捨棄（模1000 0000）
       3.原碼和補碼之間轉換：
             1.補碼=原碼減1，再取反（便於理解）
               或 補碼= 反碼+1（便於描述和推理）
             2.示範：補碼=原碼減1，再取反
               如-1的原碼1000 0001-->1000 0000(減1後)-->1111 1111(取反後)補碼
             3.示範：補碼= 反碼+1)
               如-1的原碼  1000 0001-->1111 1110(反碼)-->1111 1111(加1)補碼    
       4.重點：(特別是在有進位的時候)
           原碼和反碼的最高位是符號位，不參加算術運算，模為1000 0000(比補碼少一個0)
           而補碼所有位都可以相加，模為10000 0000(最高位不是符號位，補碼是通過模 減去 負數絕對值得到的)
       5.推斷-128的原碼和補碼（用補碼= 反碼+1）
          1.關於原碼1000 0000，表示的是-0，還是-128呢？（答案是-128而不是-0）
            1.先看看原碼的概念吧：正數的符號位為0，負數的符號位為1，其它位按照一般的方法來表示數的絕對值
            2.0是負數嗎？0既不是正數也不是負數，那麼它的符號位到底是0還是1呢？（0的符號位為0，不能為1）
            3.看看負數補碼的公式：負數的補碼=10000 0000（模）-數的絕對值
                       比如：-1 1111 1111 =10000 0000-0000 0001
                             -2 1111 1110 =10000 0000-0000 0010
               現在假設-0為負數，那麼
                -0的補碼應該是10000 0000 - 0（這個0，姑且教0的絕對值吧）=0000 0000
                反碼：1111 1111（0000 0000 -1=0000 0000 +1111 1111=1111 1111）
                原碼：1000 0000
               現在來推-128
                -128的補碼：10000 0000 - 1000 0000（+128沒有符號位）=1000 0000
                      反碼：1111 1111（1000 0000 -1=1000 0000+1111 1111=1111 1111）(補碼-1)
                      原碼：1000 0000(反碼取反)
            從上面看來，一個原碼對應了2個補碼
            但是仔細分析：原碼的概念，負數的符號位為1，但是0不是負數，所以不能用此公式
                          0也不是正數，但是可以把0定義為原碼、反碼和補碼都一樣（即0000 0000）
                          而且據說可以推斷出0的補碼只有一個（有興趣的 可以去推一下，呵呵）
            現在原碼1000 0000就唯一表示-128了，而不會表示出-0，因為-0不能用這個公式計算
            現在，補碼1000 0000的原碼是1000 0000（已證明），那麼原碼1000 0000的補碼是1000 0000嗎？
               原碼 1000 0000  (-128，進位被捨去)
               反碼 1111 1111
               補碼 1000 0000(1111 1111(反碼) + 1=1000 0000,這裡實際上真正相加的是1111 1111後面的7位,
                        第1位是符號位始終不會變,所以,當進到第8位的時候,就表示溢出了,會被捨棄)
          2.綜上所述：1.-128的補碼和原碼一樣都是1000 0000，
                      2.0的原碼、反碼和補碼都一樣（即0000 0000）
                      3.如果把-0當做負數，1000 0000就會有歧義（事實上0的補碼只有一個0000 0000）

 

第一次的手稿 2009-5-5 22：47

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   1.使用反碼的意義:
      1.使符號位能與有效值部分一起參加運算,從而簡化運算規則。從而可以簡化運算器的結構,提高運算速度；
           (減法運算可以用加法運算表示出來。)
      2.加法運算比減法運算更易於實現。使減法運算轉換為加法運算,進一步簡化電腦中運算器的線路設計。
   2.負數的位元串表示一般用補碼:(如何通過原碼推補碼,特別是-128的解釋)
      1.先給出3個原則:
        1.因為使用補碼可以將符號位和其他位統一處理,同時,減法也可以按加法來處理,即如果是補碼錶示的數,
         不管是加減法都直接用加法運算即可實現。
        2.兩個用補碼錶示的數相加時,如果最高位(符號位)有進位,則進位被捨棄(模的概念,補碼的模10000 0000)
         比如:1111 1111(-1) +1000 0001(-127)=1000 0000(-128,實際上最高位有3個1,進位一次後,還保留一個1)
              1111 1110(-2) + 0000 0100(4) = 0000 0010(2)
        3.模的規則:(自己的推斷)
              1.補碼的模為10000 0000
              2.反碼的模為1000 0000(從反碼的定義也能夠知道,即反碼的運算不涉及符號位)
              3.模的解釋
                 在日常生活中,有許多化減為加的例子。例如,時鐘是逢12進位,12點也可看作0點。
                 當將時針從10點調整到5點時有以下兩種方法:
                  1.時針逆時針方向撥5格,相當於做減法: 10－5＝5
                  2.時針順時針方向撥7格,相當於做加法:10＋(12-5)＝12＋5＝5    (模為 12)
      2.原碼、反碼和補碼的定義:(主要討論負數的)
         1.正整數的原碼、反碼和補碼都一樣
         2.負數:
            1.原碼就是原來的表示方法
            2.反碼是 原碼除符號位(最高位)外取反
            3.補碼=反碼+1
      3.舉例：以一個單位元組來說:(即8位)
       -1 原碼 1000 0001(通過原碼得到真值)
          反碼 1111 1110
          補碼 1111 1111(通過補碼得到二進位)
       -2 原碼 1000 0010
          反碼 1111 1101
          補碼 1111 1110
     **如此類推:原碼 1000 0000  (-128)(重點)
                反碼 1111 1111
                補碼 1000 0000(1111 1111 + 1=1000 0000,這裡實際上真正相加的是1111 1111後面的7位,
                        第1位是符號位始終不會變,所以,當進到第8位的時候,就表示溢出了,所以會被捨棄,
                        也就是說反碼的模是1000 0000,而補碼的模是:10000 0000比反碼多一位)
       如果用補碼反推原碼
         補碼1000 0000
         反碼1111 1111(1000 0000 -1=1000 0000+1111 1111(相當於2個補碼相加,可用模的規則)=1111 1111)
         原碼1000 0000
      4.感慨:很多群人解釋不通了,就武斷的說-128的二進位為1000 0000,並斷定它沒有反碼和原碼,還說是"規定"
        而我怎麼也沒有找到官方的這麼個規定(個人覺得這是不嚴謹的也是不負責任的,呵呵)

      5.具體的計算示範:
            1+(-1)=0
           0000 0001 + 1111 1111=0000 0000
           1+(-2)=-1
           0000 0001 + 1111 1110=1111 1111(-1)
           2+(-1)=1
           0000 0010 + 1111 1111=0000 0001
           (-128)+1=-127
           1000 0000 +0000 0001=1000 0001(補)
           1000 0001(補碼)
           1000 0000(反碼=補碼-1)
           1111 1111(原碼 =-127)
   3.有一個不正確的解釋，貌似還寫成書了(個人認為)
       採用補碼錶示還有另外一個原因,那就是為了防止0的機器數有兩個編碼。原碼和反碼錶示的0
       有兩種形式+0和-0,而我們知道,+0和-0是相同的。這樣,8位的原碼和反碼錶示的整數的範圍就是-127~+127
       (11111111-01111111),而採用補碼錶示的時候,00000000是+0,即0；10000000不再是-0,而是-128,這樣,
       補碼錶示的數的範圍就是-128~+127了,不但增加了一個數得表示範圍,而且還保證了0編碼的唯一性。
    
    我的觀點:包括寫上面的話的人自己也說過,10000000(補碼)沒有反碼和原碼,既然這樣,如何得出結論
    1000 0000曾經表示的是-0,其實通過上面的分析,1000 0000是有反碼(1111 1111)和原碼的(1000 0000)

   4.一些好的概念:
      由於電腦中符號和數字一樣,都必須用位元串來表示,因此,加號或減號也必須用0、1來表示。
      用最高位0表示正、1表示負, 這種加號或減號數字化的機內表示形式就稱為“機器數”,
      而相應的機器外部用加號或減號表示的數稱為“真值”,將一個真值表示成二進位字串的機器數的過程就稱為編碼
   5.參考資料：http://www.cnblogs.com/ASPNET2008/archive/2009/04/29/1446471.html