原碼、反碼、補碼

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數在電腦中是以二進位形式表示的。 

數分為有符號數和無符號數。 

原碼、反碼、補碼都是有符號定點數的表示方法。 

一個有符號定點數的最高位為符號位，0是正，1是副。 

以下都以8位整數為例， 

原碼就是這個數本身的二進位形式。 

例如

0000001 就是+1

1000001 就是-1 

正數的反碼和補碼都是和原碼相同。 

負數的反碼是將其原碼除符號位之外的各位求反 

[-3]反=[10000011]反=11111100 

負數的補碼是將其原碼除符號位之外的各位求反之後在末位再加1。 

[-3]補=[10000011]補=11111101 

一個數和它的補碼是可逆的。 

為什麼要設立補碼呢？ 

第一是為了能讓電腦執行減法： 

[a-b]補=a補+（-b）補

第二個原因是為了統一正0和負0 

正零：00000000 

負零：10000000 

這兩個數其實都是0，但他們的原碼卻有不同的表示。 

但是他們的補碼是一樣的，都是00000000 

特別注意，如果+1之後有進位的，要一直往前進位，包括符號位！（這和反碼是不同的！） 

[10000000]補 

=[10000000]反+1 

=11111111+1 

=(1)00000000 

=00000000(最高位溢出了，符號位變成了0） 

有人會問 

10000000這個補碼錶示的哪個數的補碼呢？ 

其實這是一個規定，這個數表示的是-128 

所以n位補碼能表示的範圍是 

-2^(n-1)到2^(n-1)-1 

比n位原碼能表示的數多一個

又例：

1011 

原碼：01011 

反碼：01011 //正數時，反碼＝原碼 

補碼：01011 //正數時，補碼＝原碼 

-1011 

原碼：11011 

反碼：10100 //負數時，反碼為原碼取反 

補碼：10101 //負數時，補碼為原碼取反＋1 

0．1101 

原碼：0.1101 

反碼：0.1101 //正數時，反碼＝原碼 

補碼：0.1101 //正數時，補碼＝原碼 

-0．1101 

原碼：1.1101 

反碼：1.0010 //負數時，反碼為原碼取反 

補碼：1.0011 //負數時，補碼為原碼取反＋1 

在電腦內，定點數有3種標記法：原碼、反碼和補碼

所謂原碼就是前面所介紹的二進位定點標記法，即最高位為符號位，“0”表示正，“1”表示負，其餘位表示數值的大小。

反碼錶示法規定：正數的反碼與其原碼相同；負數的反碼是對其原碼逐位取反，但符號位除外。

補碼錶示法規定：正數的補碼與其原碼相同；負數的補碼是在其反碼的末位加1。

 

 

兩正數相加怎麼變成了負數？？？

1）（+72）+（+98）=？

0 1 0 0 1 0 0 0 B +72

0 1 1 0 0 0 1 0 B +98

1 0 1 0 1 0 1 0 B -86

兩負數相加怎麼會得出正數？？？

2）（-83）+（-80）=？

1 0 1 0 1 1 0 1 B -83

1 0 1 1 0 0 0 0 B -80

0 1 0 1 1 1 0 1 B +93

思考：這兩個題目，按照正常的法則來運算，但結果顯然不正確，這是怎麼回事呢？

答案：這是因為發生了溢出。

如果電腦的字長為n位，n位位元的最高位為符號位，其餘n-1位為數值位，採用補碼錶示法時，可表示的數X的範圍是 -2的n-1次冪≤X≤2的n-1次冪-1

當n=8時，可表示的有符號數的範圍為-128～+127。兩個有符號數進行加法運算時，如果運算結果超出可表示的有符號數的範圍時，就會發生溢出，使計算結果出錯。很顯然，溢出只能出現在兩個同符號數相加或兩個異符號數相減的情況下。

對於加法運算，如果次高位（數值部分最高位）形成進位加入最高位，而最高位（符號位）相加（包括次高位的進位）卻沒有進位輸出時，或者反過來，次高位沒有進位加入最高位，但最高位卻有進位輸出時，都將發生溢出。因為這兩種情況是：兩個正數相加，結果超出了範圍，形式上變成了負數；兩負數相加，結果超出了範圍，形式上變成了正數。

而對於減法運算，當次高位不需從最高位借位，但最高位卻需借位（正數減負數，差超出範圍），或者反過來，次高位需從最高位借位，但最高位不需借位（負數減正數，差超出範圍），也會出現溢出。

在電腦中，資料是以補碼的形式儲存的，所以補碼在c語言的教學中有比較重要的地位，而講解補碼必須涉及到原碼、反碼。

在n位的機器數中，最高位為符號位，該位為零表示為正，為一表示為負；其餘n-1位為數值位，各位的值可為零或一。當真值為正時，原碼、反碼、補碼數值位完全相同；當真值為負時，原碼的數值位保持原樣，反碼的數值位是原碼數值位的各位取反，補碼則是反碼的最低位加一。注意符號位不變。

原碼、反碼、補碼