原碼，反碼，補碼

標籤：系統內容   電腦系統   存在   有符號   就是   轉換   講解   完全   linux   

原碼(true form)是一種電腦中對數位二進位定點表示方法。原碼錶示法在數值前面增加了一位符號位（即最高位為符號位）：正數該位為0，負數該位為1（0有兩種表示：+0和-0），其餘位表示數值的大小。原碼不能直接參加運算，可能會出錯。例如數學上，1+(-1)=0，而在二進位中00000001+10000001=10000010，換算成十進位為-2。顯然出錯了。所以原碼的符號位不能直接參与運算，必須和其他位分開，這就增加了硬體的開銷和複雜性

反碼是數值儲存的一種，多應用於系統內容設定，如linux平台的目錄和檔案的預設許可權的設定umask，就是使用反碼原理。在電腦內，定點數有3種標記法：原碼、反碼和補碼。

電腦中的符號數有三種表示方法，即原碼、反碼和補碼。三種表示方法均有符號位和數值位兩部分，符號位都是用0表示“正”，用1表示“負”，而數值位，三種表示方法各不相同。

在電腦系統中，數值一律用補碼來表示和儲存。原因在於，使用補碼，可以將符號位和數範圍統一處理；同時，加法和減法也可以統一處理。此外，補碼與原碼相互轉換，其運算過程是相同的，不需要額外的硬體電路。

原碼

（1） 原碼：在數值前直接加一符號位的標記法。

例如： 符號位 數值位

 [+7]原= 0 0000111 B[-7]原= 1 0000111 B

注意：

byte的取值範圍是-27~ 27-1 總計256個數（右圖）

即：

無符號位 0~255 （因為電腦是從0開始計算的而不是1）

有符號位 -128 ～ +127

反碼

（2）反碼：正數：正數的反碼與原碼相同。負數：負數的反碼，符號位為“1”，數值部分按位取反。例如： 符號位 數值位

[+7]反= 0 0000111 B

[-7]反= 1 1111000 B

注意：1000 0000 B 不等於0 而是 -128

+127 +1 = -128

即 0111 1111 B+1 = 1000 0000 B

也就是發生了 byte值溢出

8位二進位反碼的表示範圍：-127～+127

為什麼 -128 的二進位會是1000 0000；

1000 0000 (原) = 1111 1111(反)

那麼問題來了： 64+32+16+8+4+2+1 = 127 為什麼會有128呢？

原來 負數 反碼是需要補碼的，也就是在最後得出的結果上 +1

注意：電腦中只有 +0 而不存在 -0的說法，因為-0是完全沒有意義的存在，

即：只有 0000 0000 = +0

而沒有 1000 0000 = -0

1000 0000的真實身份是 -128 （右圖）

補碼

（3）補碼的表示方法

1）模的概念：把一個計量單位稱之為模或模數。例如，時鐘是以12進位進行計數迴圈的，即以12為模。在時鐘上，時針加上（正撥）12的整數位或減去（反撥）12的整數位，時針的位置不變。14點鐘在捨去模12後，成為（下午）2點鐘（14=14-12=2）。從0點出發逆時針撥10格即減去10小時，也可看成從0點出發順時針撥2格（加上2小時），即2點（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射為+2。由此可見，對於一個模數為12的迴圈系統來說，加2和減10的效果是一樣的；因此，在以12為模的系統中，凡是減10的運算都可以用加2來代替，這就把減法問題轉化成加法問題了（註：電腦的硬體結構中只有加法器，所以大部分的運算都必須最終轉換為加法）。10和2對模12而言互為補數。

同理，電腦的運算組件與寄存器都有一定字長的限制（假設字長為8），因此它的運算也是一種模運算。當計數器計滿8位也就是256個數後會產生溢出，又從頭開始計數。產生溢出的量就是計數器的模，顯然，8位位元，它的模數為2^8=256。在計算中，兩個互補的數稱為“補碼”。

2）補碼的表示：

正數：正數的補碼和原碼相同。

負數：負數的補碼則是符號位為“1”。並且，這個“1”既是符號位，也是數值位。數值部分按位取反後再在末位（最低位）加1。也就是“反碼+1”。

例如： 符號位 數值位

[+7]補= 0 0000111 B

[-7]補= 1 1111001 B

補碼在微型機中是一種重要的編碼形式，請注意：

a. 採用補碼後，可以方便地將減法運算轉化成加法運算，運算過程得到簡化。正數的補碼即是它所表示的數的真值，而負數的補碼的數值部分卻不是它所表示的數的真值。採用補碼進行運算，所得結果仍為補碼。

b. 與原碼、反碼不同，數值0的補碼只有一個，即 [0]補=00000000B。

c. 若字長為8位，則補碼所表示的範圍為-128～+127；進行補碼運算時，應注意所得結果不應超過補碼所能表示數的範圍。

轉換

編輯

由於正數的原碼、補碼、反碼錶示方法均相同，不需轉換。

在此，僅以負數情況分析。

（1）已知原碼，求補碼。

例：已知某數X的原碼為10110100B，試求X的補碼和反碼。

解：由[X]原=10110100B知，X為負數。求其反碼時，符號位不變，數值部分按位求反；求其補碼時，再在其反碼的末位加1。

1 0 1 1 0 1 0 0 原碼

1 1 0 0 1 0 1 1 反碼，符號位不變，數值位取反

1 +1

1 1 0 0 1 1 00 補碼

故：[X]補=11001100B，[X]反=11001011B。

（2）已知補碼，求原碼。

分析：按照求負數補碼的逆過程，數值部分應是最低位減1，然後取反。但是對位元來說，先減1後取反和先取反後加1得到的結果是一樣的，故仍可採用取反加1 有方法。

例：已知某數X的補碼11101110B，試求其原碼。

解：由[X]補=11101110B知，X為負數。

採用逆推法

1 1 1 0 1 1 1 0 補碼

1 1 1 0 1 1 0 1 反碼（末位減1）

1 0 0 1 0 0 1 0 原碼（符號位不變，數值位取反）

樣本

編輯

請大家來做兩個題目：有符號數運算時的溢出問題

兩正數相加怎麼變成了負數？？？

1）（+72）+（+98）=？

0 1 0 0 1 0 0 0 B +72

0 1 1 0 0 0 1 0 B +98

1 0 1 0 1 0 1 0 B -86

兩負數相加怎麼會得出正數？？？

2）（-83）+（-80）=？

1 0 1 0 1 1 0 1 B -83

1 0 1 1 0 0 0 0 B -80

0 1 0 1 1 1 0 1 B +93

思考：這兩個題目，按照正常的法則來運算，但結果顯然不正確，這是怎麼回事呢？

答案：這是因為發生了溢出。

如果電腦的字長為n位，n位位元的最高位為符號位，其餘n-1位為數值位，採用補碼錶示法時，可表示的數X的範圍是 -2的n-1次冪≤X≤2的n-1次冪-1

當n=8時，可表示的有符號數的範圍為-128～+127。兩個有符號數進行加法運算時，如果運算結果超出可表示的有符號數的範圍時，就會發生溢出，使計算結果出錯。很顯然，溢出只能出現在兩個同符號數相加或兩個異符號數相減的情況下。

對於加法運算，如果次高位（數值部分最高位）形成進位加入最高位，而最高位（符號位）相加（包括次高位的進位）卻沒有進位輸出時，或者反過來，次高位沒有進位加入最高位，但最高位卻有進位輸出時，都將發生溢出。因為這兩種情況是：兩個正數相加，結果超出了範圍，形式上變成了負數；兩負數相加，結果超出了範圍，形式上變成了正數。

而對於減法運算，當次高位不需從最高位借位，但最高位卻需借位（正數減負數，差超出範圍），或者反過來，次高位需從最高位借位，但最高位不需借位（負數減正數，差超出範圍），也會出現溢出。

在電腦中，資料是以補碼的形式儲存的，所以補碼在c語言的教學中有比較重要的地位，而講解補碼必須涉及到原碼、反碼。

在n位的機器數中，最高位為符號位，該位為零表示為正，為一表示為負；其餘n-1位為數值位，各位的值可為零或一。當真值為正時，原碼、反碼、補碼數值位完全相同；當真值為負時，原碼的數值位保持原樣，反碼的數值位是原碼數值位的各位取反，補碼則是反碼的最低位加一。注意符號位不變。

 

原碼，反碼，補碼