[原]編程之美2.21 只考加法的面試題

題目如下： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－看了這麼多題目，有人不禁會想，這些題目都太難了！有沒有容易的？這裡有一題，只用到加法，大家別嫌題目簡單，不妨試試看。我們知道：1+2=34+5=92+3+4=9等式左邊都是兩個以上連續的自然數相加，那麼是不是所有的整數都可以寫成這樣的形式呢？稍微考慮一下，我們發現，4、8等數並不能寫成這樣的形式。問題1：寫一個程式，對於一個64位正整數，輸出它所有可能的連續自然數（兩個以上）之各的算式。問題2：大家在測試上面程式的過程中，肯定會注意到一些數字不能表達為一系列連續的自然數之和，例如32好像就找不到。那麼，這樣的數字有什麼規律呢？能否證明你的結論？問題3：在64位正整數範圍內，子序列數目最多的數是哪一個？這個問題要用程式蠻力搜尋，恐怕要運行很長時間，能否用數學知識推匯出來？－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

我的解答

解答1：

程式就不寫了，基本思路就是對於給定的數N，遍曆2~N的數，滿足條件就輸出。這樣的話複雜度是O(N)。做一些最佳化，發現 i = 2~N 增長到一定程度後，會出現其邊緣序列已經超出整數範圍，故後面的值不用再遍曆，可直接退出迴圈。這樣最佳化後，測試發現N=10^7時需迴圈4470次，比O(N)好了許多。 進一步進行理論分析如下：設N = k*m ，k表示k個數之和，m表示序列的中點數(若k為偶數則m的小數部分必須為0.5才有解)由於序列起點至少為1，所以有 m - (k + 1)/2 >= 0 (*) 將 m = N/k 代入上式，整理得 k^2 + k - 2*N <=0，解得 0 < k <= ( sqrt(1 + 8 * N) - 1) / 2不等式右側就是k取值的上界，由此可將演算法改進，時間複雜度降為O(sqrt(N)) 解答2：嚴格證明，我是不會呵，闡述下思路吧先說下我的答案，是2的冪次的數均不可。證明如下：(1)奇數都可以，因為任意奇數都可以拆為k + (k + 1)的形式，從而有解(2)由對稱性可知，凡是能被2整除的偶數，均不能表示為兩個數之和的形式，推廣得對於數N，若要將其表示為長度k的序列(當然k不能超過上述解答1的上界)，必須有 N % k == k/2，該式其實與N被偶數除，結果小數部分必須為0.5是等價的 可知，對於任意數N，若可以表示為2^x * y，y表示除2以外因子的乘積，則在k滿足上界限制的前提下，k = 2^(x+1)一定有解。反推之，對於任意2的冪次的數，均無解。 解答3：由解答1可知，k的上界與N有關，N越大則k的取值範圍越大，可能的序列數目就越多。因此，由貪心策略得，最大值MAX應具有如下形式 MAX = 3^n 由於是64位整數，有 3^n < 2^64 解得 n < (ln2/ln3)*64 ，n是整數，n最大值是40 所以有MAX = 3^40再由解答1得，序列數最多為20*2 = 40個