最大匹配與二分圖建圖概述

一：關於二分圖最大匹配的兩個定理：

1:最大匹配數 + 最大獨立集 = n + m（n,m為二部圖兩部分的個數）
2:二分圖的最小覆蓋數 = 最大匹配數

3:最小路徑覆蓋 = 最大獨立集

最大獨立集是指求一個二分圖中最大的一個點集，該點集內的點互不相連。

最小頂點覆蓋是指 在二分圖中，用最少的點，讓所有的邊至少和一個點有關聯。

最小路徑覆蓋是指一個不含圈的有向圖G中，G的一個路徑覆蓋是一個其結點不相交的路徑集合P，圖中的每一個結點僅包含於P中的某一條路徑。路徑可以從任意結點開始和結束，且長度也為任意值，包括0

關於二分圖最大匹配演算法：http://blog.csdn.net/no_retreats/article/details/7854091

常見的建圖模型：(以下是參照其他資源小結的)

模型一：行列匹配法

    

1	0	1
0	1	0
1	0	0

      如所述是一個3*3的矩陣，其中1表示有敵人，0表示沒有敵人。我們現在有多支箭，而且每支箭能夠殺死一行或者一列的敵人，問題是我們要殺死所有的敵人至少需要多少支箭？

      初初看來和二分圖是沒有什麼聯絡，不過我們可以試試換個角度去思考問題，我們想要殺死敵人是不是只要有箭經過他就行了是吧，也就是說所有的敵人被箭覆蓋過就行了。嗯，沒錯，就是覆蓋，最小頂點覆蓋。既然我們要殺的是敵人，那麼我們的點就應該是敵人的位置，只要有箭經過敵人的位置，那敵人就被我們殺死了有木有。所以我們要依據點來建圖，將點的橫座標看成是二分圖的X部分，縱座標看成是二分圖的Y部分。由可知敵人的位置在（（1,1），（1,3），（2,2），（3,1）），因此我們就用座標的橫縱座標來見二分圖了，其中用邊相連的邊即為敵人所在的點了。

   ，一個二分圖的最小頂點覆蓋就是要找到最少的邊把所有的頂點覆蓋，正好符合這個題的要求，上面還給出了一個性質，即二分圖的最小頂點覆蓋是等於二分圖的最大匹配。所以我們只需要對上面的那個二分圖就最大匹配就行，這樣把原本的問題轉變的很簡單了

模型二：黑白染色法

1	0	1
1	1	1
0	0	1

如還是一個3*3的矩陣，現在的問題就是讓你把圖中的1變為0，而且一次最多隻能修改相鄰的兩個，問至少需要多少次的修改才能把所有的1修改為0？似乎用貪心，DP都派不上用場，當然在這裡提出是要用二分圖最大匹配來求解了，這裡的關鍵是如何建圖？既然是每次只能拿相鄰的兩個，是兩個，正好我們匹配的時候也是找兩個進行匹配，這就是這個問題和最大二分圖匹配問題相聯絡的地方。但是每個點能和他四周的四個點匹配，那麼我們怎麼把所有的點分成來那個部分呢？ 一個解決辦法就是要把第i個點放到第一部分，第i個點周圍的四個點放到第二部分，再把這四個點周圍的16點放到第1部分
有了這樣的思想，我們只需對原圖做這樣的改動：黑白染色使四周和中間的顏色不同。

                                                           

 

圖中黑白的意思是就是把點分類，圖裡的1,2,3,4,5,6表示的就是上面那個0,1圖的1的個數
然後建圖，把相鄰的點相連，比如說1和2 2和3 。。。。。。。

                                                           

  

 然後要把所有一改為零，也就是要對每個點都操作，每個點都要有，那不就是最小頂點覆蓋嗎？嗯，是的，還是最小頂點覆蓋。