二分圖部分總結

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目錄

• 二分圖及其相關定義
  • 二分圖相關定義：
  • 二分圖相關定理：

二分圖及其相關定義二分圖相關定義：

二分圖的判定：

?只需判定圖是否有奇環即可，若無奇環則為二分圖。判定方法有染色法，並查集(拆點)等。

邊覆蓋集：

?選出某些邊集合，滿足G中所有點都是邊集合中某條邊的端點。注意極小的最小的區別。極小邊覆蓋集的任何真子集都不是邊覆蓋集。

最小路徑覆蓋和最小邊覆蓋的區別：

?最小路徑覆蓋不要求給的圖是二分圖，而要求是PXP的有向圖。不能有環，根據原圖拆點構成二分圖。

?點u分為u1和u2，點v分為v1和v2。若u->v有邊，則u1->v2。

最小路徑覆蓋 = n - m

?n是原圖的頂點數，m是新構造二分圖的最大匹配。

?根據定義最小路徑覆蓋裡要求同一個點只可以屬於一條路徑，
?即路徑時不可以開叉的，如果在二分圖裡選兩條有公用點的邊那麼反應在原圖上
?就是路徑有岔路，那麼就不符合匹配的定義了,所以二分圖裡選的邊必須是無公
?共交點的，這轉化到最大匹配了。

RAG圖中：最小路徑覆蓋 = 節點數 - 最大匹配數

?Floyd對原題求一次傳遞閉包，然後求新圖的最小路徑覆蓋。

二分圖相關定理：

最大匹配數 = 最小點覆蓋數 = 左邊匹配點 + 右邊未匹配點

最小路徑覆蓋 = |G| - 最大匹配數

最大獨立集 = 頂點數 - 最大匹配 = 頂點數 - 最小點覆蓋

顯然把最大匹配兩端的點都從頂點集中去掉, 剩餘的點是獨立集, 這是|V|-2*|M|, 同時必然可以從每條匹配邊的兩端取一個點加入獨立集並保持獨立集性質.

最大團 = 補圖的最大獨立集

最小割 = 最小點權覆蓋集 = 點權和 - 最大點權獨立集

二分圖最小邊覆蓋 = 最大獨立數 = n - 最大匹配

無向圖的最小邊覆蓋集 = (二分圖(拆點後)兩邊頂點數-最大匹配)/2

二分圖部分總結