北京大學2015年數學分析考研試題

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1. 計算 $$\bex \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\int_0^x e^{-t^2}\rd t-x}{\sin x-x}. \eex$$

 

 

2. 討論廣義積分 $\dps{\int_1^\infty \sez{\ln \sex{1+\dfrac{1}{x}}-\sin \dfrac{1}{x}}}$ 的斂散性.

 

 

3. 函數 $$\bex f(x,y)=\sedd{\ba{ll} \sex{1-\cos \dfrac{x^2}{y}}\sqrt{x^2+y^2},&y\neq 0;\\ 0,&y=0. \ea} \eex$$ $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 處可微麼? 證明你的結論.

 

 

4. 計算 $$\bex \int_L e^x[(1-\cos y)\rd x-(y-\sin y)\rd y], \eex$$ 其中 $L$ 去曲線 $y=\sin x$ 從 $(0,0)$ 到 $(\pi,0)$.

 

 

5. 證明函數項級數 $$\bex \sum_{n=0}^\infty \dfrac{\cos nx}{n^2+1} \eex$$ 在 $(0,2\pi)$ 上一致收斂, 並且在 $(0,2\pi)$ 上有連續導數.

 

 

6. 設 $$\bex x_0=1,\quad x_{n+1}=\dfrac{3+2x_n}{3+x_n},\quad (n\geq 0). \eex$$ 證明數列 $\sed{x_n}$ 收斂並求其極限.

 

 

7. 設函數 $f\in C^2(\bbR^2)$, 且對任意 $(x,y)\in\bbR^2$, $$\bex \dfrac{\p^2f}{\p x^2}(x,y)+\dfrac{\p^2f}{\p y^2}(x,y)>0. \eex$$ 證明: $f$ 沒有極大值點.

 

 

8. 設 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續, 在 $(a,b)$ 內可導, 且 $f(b)>f(a)$, $\dps{c=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}}$. 證明 $f$ 必具備下述兩條性質中的一個:

(1). 任意 $x\in [a,b]$, 有 $f(x)-f(a)=c(x-a)$.

(2). 存在 $\xi\in (a,b)$ 使得 $f‘(\xi)>c$.

 

 

9. 設 $F:\bbR^3\to \bbR^2$ 是 $C^1$ 映射, $x_0\in\bbR^3$, $y_0\in\bbR^2$, $F(x_0)=y_0$, 且 $F$ 在 $x_0$ 處的 Jacobi 矩陣 $D F(x_0)$ 的秩為 $2$. 證明: 存在 $\ve>0$, 以及 $C^1$ 映射 $\gamma(t):\ (-\ve,\ve)\to\bbR^3$, 使得 $\gamma‘(0)$ 是非零向量, 且 $F(\gamma(0))=y_0$.

 

 

10. 設開集 $U\subset\bbR^n$, $f:U\to \bbR^n$ 是同胚映射, 且 $f$ 在 $U$ 上一致連續. 證明: $U=\bbR^n$.

 

參考解答見家裡蹲大學數學雜誌.

 

北京大學2015年數學分析考研試題