排列組合 permutations and combinations

推薦《程式員的數學》中排列組合一章，講的太好了！

計數就是不重複，不遺漏的去將對象和整數對應起來。我們平時會簡單的數數，但是如果在計數對象多的不能直接數時，就需要找到計數對象與整數之間的“對應規則”了。為此必須理解計數對象具有怎麼樣的特性和結構。

一個例子，記憶體中排列著要處理的100個資料。從第一個開始依次編號為0號，1號。。。那麼最後1個資料的編號是多少呢？

答案：99。

程式員朋友肯定很少會答錯這道題。只要找到了“對應規則”--從0開始編號，最後一個資料的號是n-1.

只要掌握了普遍規則，那麼數字有多大都不會出錯，這點很重要。因此在計數問題中，最重要的是使用變數n將問題抽象出來。

置換

手中有三張牌A，B，C。現在問總共有多少張排法？--這種問題稱之為置換(substitution).

解法：

選取第一張牌時有3種選擇，選取第二張牌時有2種選擇，選擇第三張牌時只剩下一種選擇了。因此應該是3*2*1=6種排法。

由此可見此類問題是牌數的階乘n!(factorial)，因乘數呈階梯狀而得名。0!=1而不是0.

這其實也是程式中我們常常說的“全排列”的問題，但是其實和數學中的“排列”不是一個哈。

為什麼這種排法稱為置換呢？因為相當於在所有牌中，讓兩張牌交換彼此的位置並得到所有的可能性。

排列

手中有5張牌A,B,C,D,E。現在問從5張牌中抽出3長，然後排列，有多少種排法？

解法也很簡單：

第一張牌有5種選擇，第二張牌有4中選擇，第三張牌有3種選擇。因此是5*4*3=60.

我們把從n長牌中抽出k張按一定順序排列的方法稱為排列(Permutation). 排列的總數記做

P kn = n!/(n-k)!

組合

手中有5張牌A,B,C,D,E。現在問從5張牌中抽出3張，不考慮順序，有多少種組合？

這種問題稱為組合(combination). 組合的計算方法可以首先計算出排列的總數，然後除以重複計算的部分(重複度)。

最後我們就得到了置換，排列和組合的關係：

以5張牌中取3張牌做排列為例，置換是“3張牌所有的排序可能”，組合是“從5張牌中抽出3張牌的所有可能”，排列是“5張牌中抽出3張牌，並做置換”。因此

“3張牌所有的排序可能” * “從5張牌中抽出3張牌的所有可能” = ”5張牌中抽出3張牌，並考慮順序做排列”

下面是兩道思考題

1， 現在要用顆粒狀的藥品調配一種新藥。藥品有A,B,C三種。調配規則如下：

從A,B,C中共取100粒； A,B,C這3種藥中至少有一種；不考慮藥品調配的順序。

問，新藥調劑有多少種組合？

2，現在有5張撲克牌，其中王2張，其他J，Q，K各一張。將5張牌列在一起，左端或右端至少有一張王牌的排列方法有多少種？