皮克定理 poj2954

一張方格紙上，上面畫著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點，就是所謂格點。

  

a=39,b=14,s=45

如果取一個格點做原點O，1，取通過這個格點的橫向和縱向兩直線分別做橫座標軸OX和垂直軸OY，並取原來方格邊長做單位長，建立一個座標系。這時前面所說的格點，顯然就是縱橫兩座標都是整數的那些點。1中的O、P、Q、M、N都是格點。由於這個緣故，我們又叫格點為整點。

　　一個多邊形的頂點如果全是格點，這多邊形就叫做格點多邊形。有趣的是，這種格點多邊形的面積計算起來很方便，只要數一形邊線上的點的數目及圖內的點的數目，就可用公式算出。

　　這個公式是皮克(Pick)在1899年給出的，被稱為“皮克定理”，這是一個實用而有趣的定理。

//一個計算點陣中頂點在格點上的多邊形面積公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多邊形內部的點數，b表示多邊形邊界上的點數，s表示多邊形的面積。

#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;struct point{   int x,y;};int gcd(int m,int n){if(n==0) return m;return gcd(n,m%n);}int bian(point A,point B)//算出點A和點B組成的線段上的點{return gcd(abs(A.x-B.x),abs(A.y-B.y))+1;}int f(point a[],int n)//求n邊形的面積{int i,ans=0;a[n]=a[0];for(i=0;i<n;i++)ans+=(a[i].x*a[i+1].y-a[i].y*a[i+1].x);if(ans<0) ans=-ans;return ans;}int main(){  int s,ans;   point a[4];   while(cin>>a[0].x>>a[0].y>>a[1].x>>a[1].y>>a[2].x>>a[2].y)    {    if(!(a[0].x||a[0].y||a[1].x||a[1].y||a[2].x||a[2].y))      break;      s=bian(a[0],a[1])+bian(a[1],a[2])+bian(a[2],a[0])-3;//-3是因為重複算了3個頂點      //cout<<"s="<<s<<endl;      ans=f(a,3);      //cout<<"ans="<<ans<<endl;      cout<<(ans-s)/2+1<<endl;    }return 0;}